Undersøgende arbejde i matematik

I disse år kommer der mere og mere fokus på det undersøgende arbejde i matematik, både i international forskning, i de forenklede fællesmål, i lærebøger og i afgangsprøver. Undersøgende arbejde i matematik er – kort sagt – matematikundervisning, hvor eleverne også stiller spørgsmål og ikke kun besvarer dem.

Man kan se undersøgende arbejde i matematik som en oversættelse af den internationale strømning ”Inquiry Based Education” (IBE). Det er det, men det er meget mere end det. IBE er stort indenfor sciencefagene fysik, kemi, geografi og biologi, hvos IBE er blevet til IBSE (Inquiry based science education). Det er en fare i at reducere IBE i matematik til udelukkende at være en matematisering af IBSE. Faren er, at man prøver oversætte den eksperimentelle arbejdsform fra sciencefagene til matematik. Matematik er ikke et naturvidenskabeligt fag som de andre. I fysik, kemi, geografi og biologi har naturen altid ret og kan altid bruges som dommer. Sådan er det ikke i matematik. Mennesker har selv opfundet matematikken og vi er selv dommere. Når vi i matematik undersøger fænomener i matematikken selv, er det forkert at lade eksperimenter afgøre om matematikken holder eller ej. Her er det argumenterne, der afgør sagen. For eksempel producerer n² + n + 41 primtal for de første 40 hele tal fra n = 0 til n = 39, men ikke primtal for fx n = 40 og n = 41. Og når vi i matematik omvendt undersøger virkeligheden i modelleringsprocessor, spiller eksperimenter og observationer en afgørende rolle, og virkeligheden har selvfølgelig ret her. Men det er stadig os der afgør, hvornår matematikken passer tilstrækkeligt godt til virkeligheden.

Undersøgende arbejde i matematik appellerer til nysgerrighed og kreativitet i faget. ”Hvad nu hvis…”-tankegangen er helt central i alt undersøgende arbejde: Hvad nu hvis man erstattede alle hele tal med decimaltal, hvad nu hvis man erstattede femkanten med en sekskant, hvad nu hvis man fyldte kassen med vand og så videre og så videre. Undersøgende arbejde i matematik kræver en særlig klassekultur. Den undersøgende arbejdsform fordrer samarbejde med åbenhed og rummelighed i undervisningssituationen. Lærere og elever skal kunne lytte til hinanden, arbejde videre på andres ideer, argumentere for og imod både andres og egne ideer. Dette kræver, at stemningen i klassen er sådan, at alle tør fremsætte ideer og argumenter (også selvom de måske ikke er helt velpolerede) og at alle tager imod andres ideer på en seriøs og venlig måde.

En undersøgende tilgang er ikke ny. Siden 60’erne er der gjort mange forsøg med denne tilgang ind i matematikken, men der har været mange vanskeligheder forbundet med det at arbejde undersøgende. Én af vanskelighederne er, at det undersøgende arbejde ofte er gået hen og blevet noget flip. I de værste tilfælde er undersøgende arbejde endt med skuffede lærere og frustrerede elever, der ikke kunne finde på noget at spørge om, ikke kunne se meningen med det hele og meget hellere ville regne videre i bogen. Og i bedre tilfælde resulterede undersøgende arbejde i glade elever, der var aktive og stillede masser af spørgsmål om alt muligt, men hvor hverken lærere eller elever vidste hvad de havde lært undervejs.

Med min nye bog, ”Åben og undersøgende matematik”, har jeg forsøgt at sætte system i og struktur på det undersøgende arbejde, så det bliver nemmere at gå til og tydeligere hvad målene er for både lærere og elever.

For mig folder det undersøgende arbejde sig ud i arbejdet med åbne opgaver. En åben opgave er en opgave, hvor der er mere end et rigtigt svar. Ifølge min definition er en opgave ikke åben, bare fordi man kan have flere mulige løsningsmetoder.

I bogen beskæftiger jeg mig med seks typer af åbne opgaver:

  • Svaret er givet, fx ”Skriv et regnestykke med resultatet 100”
  • Regnehistorier, fx ”Skriv en minushistorie hvori ordet forskel indgår”
  • Undersøgelser, fx ”Tegn en 7 takket stjerne i én streg”
  • Nye begreber, fx ”Hvad er et parallellohexagram?”
  • Modellering, fx ”Lav en formel for rumfanget af en plasticpose”
  • Manglende oplysninger, som er lukkede opgaver, hvor der er fjernet en eller flere oplysninger

Hermed udelukker jeg de åbne opgaver, der er så omfattende, at de kan karakteriseres som projekter. Et eksempel herpå er opgaven ”Hvad koster det at have hund?” Projektarbejdsformen er velbeskrevet mange andre steder, og derfor ikke med i min bog.

For hver type beskriver jeg den undersøgende arbejdsmetode der skal til, så eleverne ved hvad de skal gå i gang med, hvad formålet er og ved hvad der karakteriserer en god besvarelse.

I typen ”Svaret er givet” introducerer jeg metoden (som kan bruges i mange typer åbne opgaver), at hver elev skal give tre svar: Et almindeligt, et vanskeligt og et smart svar. Det almindelig svar er et man regner med at alle kunne finde på, et vanskeligt svar er et, der giver én selv en del arbejde og et smart svar er et, hvor man prøver at være genial, generel, spidsfindig (måske på kanten til det oversmarte) og hvor man regner med, at man er den eneste der finder på den løsning. Til opgaven ”Skriv et regnestykke med resultatet 100” kunne en elev i 7. klasse finde på disse svar: Almindeligt: 50+50. Vanskeligt: (123,4+0,05)*100/123,45. Smart: . Pointen er, at hver elev skal presse sig selv i tre forskellige retninger, og alle tre retninger rummer kvaliteter. Det er godt at have en fornemmelse for, hvad rigtig mange mennesker tænker, altså at kunne finde på et almindeligt svar. Det er hensigtsmæssigt at være bevidst om, hvad man selv synes er svært, det viser man med det vanskelige svar. Og endelig er det sundt for kreativiteten at prøve at være smart, selvom man risikerer at gå over kanten. Kreativitet kræver mod.

Med denne arbejdsmetode synliggør man over for eleverne, at det ikke altid er tilstrækkeligt at finde en løsning, der kan sættes to streger under.  Uden denne arbejdsmetode har mange elever det sådan, at ét nemt svar må være nok, og så læner de sig tilbage med korslagte arme og venter på næste opgave.

Gennem arbejdet med åbne opgaver nuanceres vurderingskriterierne for, hvad det vil sige at være god til matematik. For de fleste elever (og deres forældre og endda lærere), er det, at være god til matematik ensbetydende med, at kunne regne mange opgaver hurtigt og rigtigt, og at man kan regne nogle svære opgaver, som andre i klassen ikke kan. Med åbne opgaver kan man nuancere dette med, hvor kreative løsningerne er, og hvor stor en mangfoldighed af forskellige løsninger, der kommer frem. Og det er ikke længere en succes for nogen, at der er andre i klassen, som ikke kan finde ud af opgaven.

Det er vigtigt at synliggøre ovenstående ændring af den didaktiske kontrakt i klassen. Man må fortælle eleverne, at nu handler det om noget andet end at nå mange opgaver. Men selv med en god introduktion til åben og undersøgende matematik er der elever der føler sig kastet ud på dybt vand. Læreren skal være der for hver enkelt elev. Læreren skal kunne give støtte til de elever, der ikke kan komme i gang, og læreren skal kunne udfordre de elever, der rammer muren for, hvad de selv kan finde på.

Som støtte har læreren flere muligheder, gerne formuleret som, at læreren tænker højt:

  • Omformulere opgaven, fx ”Man kan også læse opgaven på den måde, at det, man skal, er at finde tre tal, og, når man regner gennemsnittet af dem, skal det give 5”.
  • Hjælpe med opdeling i først at lukke opgaven og derefter løse den, fx ”Jeg tror, jeg ville dele opgaven op, og først finde på de tal der, skal findes på.”
  • Lukke opgaven lidt, fx ”Jeg ville beslutte, at der kun skal være tre tal, og det ene af dem skal være 10”.
  • Give et eksempel, og opfordre eleven til næsten at kopiere det, fx ”Jeg vælger at prøve med de tre tal 10, 2 og 6, og regner gennemsnittet ud af dem for at se, hvor tæt det er på gennemsnittet 5, som vi skal ramme. Gennemsnittet af 10, 2 og 6 kan man finde ved at lægge dem sammen, det giver 18, og dividere med 3, det er 6. Det er lidt for højt. Så prøver jeg lige med 10, 2 og 5, det giver 17 divideret med 3, det er 5,7. Stadig for højt. Så går jeg lidt mere ned til 10, 2 og 3, det giver 15, divideret giver det 5. Fedt!” ”Du kan jo prøve at starte med 9, 4 og 5 og prøve dig frem, ligesom jeg gjorde”.

Læreren kan udfordre ved at tage udgangspunkt i disse spørgsmål:

  • Er der andre måder at løse opgaven på?
  • Har du prøvet med andre tal? Større tal, mindre tal, hele tal, decimaltal, brøker, negative tal, irrationale tal, de særlige tal: 0 og 1, de andre særlige tal: -1, 10, ½.
    Ved geometriopgaver kan man ud over at variere tal også spørge til, om man kan bruge andre figurer.
  • Kan du generalisere dine resultater? Er der system i tingene? Kan du finde en formel?

Generelt er det en god idé at stille spørgsmål, der ikke skal besvares med ja, nej eller et tal:

  • ”Hvad nu hvis” er en undersøgende formulering, fx ”Hvad nu, hvis man bruger et decimaltal?”
  • ”Hvorfor mon” kan bruges til at få eleven til at søge efter en forklaring, fx ”Hvorfor mon det giver noget 3 går op i?”
  • ”Hvilke” er ofte en måde at præcisere et valg på, fx ”Hvilke tre tal har du brugt?”

Åbne opgaver og undersøgende matematik hverken kan eller skal overtage al matematikundervisningen. Begynd i det små med at stille nogle få åbne opgaver i år. Brug næste år de samme åbne opgaver, og suppler med et par nye. Og efterhånden kommer de åbne opgaver til at spille en stadig større rolle i matematikundervisningen til glæde og gavn for alle elever og deres lærere. Rigtig god fornøjelse!

Du kan downloade en læseprøve på bogen her. Og den kan købes her.