Matematik i børnehaveklassen

Hvad er matematik?
Børn har en forestilling om hvad matematik er når de starter i skolen. ”Det er noget med tal og regnestykker” De fleste kan tælleremsen et godt stykke op, de ved hvor gamle de er og mange kan også skrive flere tal. Min nevø Jens var i den alder lidt forundret over sin egne evner: ”Når jeg skriver store tal, så kan min mor læse dem (fx 2435167485 – to milliarder firehundrede og fem og tredive millioner …), men min mor kan ikke rigtig læse når jeg skriver bogstaver (fx jbstehmnol)”.

Det er godt! Men matematik er også meget andet end tal og regnestykker. En god definition er at matematik er det fag der beskæftiger sig med de tre spørgsmål: “Hvor mange?”, “Hvor stor?” og “Hvilken form?” Matematik er altså noget med tal, størrelser og former og noget med at stille spørgsmål. ”Hvor gammel er du?” “Hvor meget slik må vi få?” “Hvordan får jeg vikingeskjoldet til at være helt rundt?” Gør det klart for børnene at når de stiller (eller svarer på) et af de tre spørgsmål, så laver de matematik.

Hvorfor undervise i matematik?
Matematik er grundskolens næststørste fag, og det gør sig fortjent den til den markante plads af to årsager: Anvendelsesmulighederne og dannelsesaspektet. Matematik har store anvendelsesmuligheder i hverdagen, i andre fag og i langt de este erhverv. Vi har alle brug for at kunne noget procentregning og vide, hvad en kilometer og en ret vinkel er.

Matematik er også et kulturfag og et historisk fag. Mennesker har lavet matematik i mange tusinde år og ofte udelukkende med matematikken selv for øje. Matematik er også fascinationen af systemer og mønstre i tal og figurer, det er filosoferen og abstrakte fænomener som uendelighed og intethed, og en konstante higen efter det perfekte argument.

Også i børnehaveklassen skal der være plads til matematikken for matematikkens egen skyld, og store spørgsmål, som hvad der er verdens største eller mindste tal, kan være starten på et langt lystfyldt liv med matematik.

Selvom resten af denne artikel handler om tal, er det altså slet ikke den eneste form for matematik.

To grundlæggende evner

Fra fødslen er vores hjerne udstyret med to evner der danner grundlaget for vores arbejde med tal. Den ene evne kaldes  Approximate Number System (ANS) og den anden evne kaldes subitizing. ANS betyder at vi kan skelne mellem to mængder med relativt mange elementer i hver og afgøre hvor der er flest. Subitizing betyder at vi kan skelne mellem små mængder (typisk op til fire) ved blot at se på dem. Både ANS og subitizing er altså noget vi kan uden at tælle, og noget som vi deler med langt de fleste dyr.

Ud fra disse medfødte evner skal vi så have tillært evnen til at koble præcis ét talord og ét talsymbol til en mængde og evnen til at placere disse talord/symboler i forhold til hinanden. Det kan vi, når vi for eksempel ved, at 16 er dobbelt så meget som 8, og 12 ligger lige midt imellem.

Tælleremsen

Den traditionelle metode til at koble talord til mængder er at tælle en ad gangen, altså sige tælleremsen ”én, to tre, re” og så videre og pege på netop en genstand indtil, vi har været alle genstande i mængden igennem. Det sidste talord vi siger, det er det tal, som vi knytter til antallet i mængden. At kunne tælleremsen er grundlaget for at kunne udføre denne form for antalsbestemmelse. Næste skridt er så at kunne anvende tælleremsen korrekt med én-til-én korrespondance mellem genstandene i mængden og talordene i remsen.

Denne udvikling sker helt naturligt hos de allerfleste børn, og det er en god og vigtig udvikling. Jeg oplever det netop i denne tid, hvor mit barnebarn på 2 år og 2 måneder siger tælleremsen (altså det hun kan, som for øjeblikket er en, to, fire, fem, seks, syv, otte, ni, ti, elleve, tolv, seksten og så med loop tilbage til syv ☺ ) når vi går på trapper, går forbi en række biler eller sætter tallerkener på bordet. Hun ved at det er noget med at sige denne remse når der er en række ens genstande, men hun har endnu hverken den korrekte tælleremse eller en én-til-én korrespondance.

Antal uden tælling

MEN at tælle en ad gangen er ikke den eneste måde at bestemme antal og bør ikke være den eneste måde, vi taler om antal heller ikke med børn i førskole og skolestarten. Vi har den medfødte evne til at skelne små antal uden at tælle, og denne evne bygger vi slet ikke på, når vi tæller en ad gangen. Sagt helt banalt, der er ingen grund til at tælle genstande op til og med fire, det kan børnene godt se, de ved bare ikke, hvad mængden hedder.

Som en start skal man altså vænne sig til også at tale om antal op til og med fire uden at tælle en ad gangen. ”Der er fire tallerkener på bordet, for vi er fire til at spise” ”Du har tre sutter lige her”. ”Der er fire knapper på den her trøje, og tre knapper på den anden”. Uden liiiiige at følge op med at tælle en ad gangen: ”Der er fire tallerkener på bordet, for vi er fire til at spise. Én to tre fire.”

Det er faktisk voldsomt svært. Jeg oplever det selv, hvor vil jeg gerne liiige følge op med ”en to tre”, når jeg har sagt til mit barnebarn at hun har tre sutter. Men ved netop ikke at sige ”en to tre” anerkender jeg at hun faktisk godt kan skelne dette fra om der var en mere eller en mindre, og jeg viser hende at navnet for dette antal er ”tre”.

Næste skridt i en antalsbestemmelse baseret på andet end at tælle en ad gangen er at tale om antal større end fire, ved at dele dem op i grupper på op til fire. For eksempel tale om prikkerne på terningen ved at sige ”Det her er sekseren. Der er tre prikker og tre prikker.” ”Det her er femeren, det er en firer med en i midten”. Det er at tale om de syv kager der er tilbage på fadet, som ”der er syv tilbage, fire i den ene række og tre i den næste”. På denne måde er vi med til at give billeder på hvordan syv kan se ud. Dette kræver ikke at børnene allerede ved at fire plus tre er syv, tværtimod er dette med til at de senere bare ved at 4+3=7.

Regning i forhold til tælling

Regning starter med addition af det etcifrede naturlige tal 3+4=__ osv. Det er helt naturligt at børnene starter med den mest primitive strategi nemlig at tælle fire op på den ene hånd, for derefter at tælle tre op på den anden hånd for så at slutte af med at tælle begge hænder fra en ende af ”en to tre fire fem seks syv” og så kæmpe lidt med hvordan et sådan syv-tal ser ud. Næste skridt er stille og roligt at skubbe lidt til eleverne, så de kan tælle videre fra et af tallene ”fire fem seks syv” og gerne også lige tage sig tid til at overveje hvilket tal, det er smartest at tælle videre fra ”fem seks syv”. Disse strategier kaldes tællestrategier eller backup strategier – de er gode at have, når alt andet er mislykkedes.

Hurtigt herefter skal eleverne gerne have automatiseret nogle af disse summer, så de ikke skal tælle, men bare ved hvad det giver ”Tre plus tre er seks. Det ved jeg bare”. At få nogle af disse plusstykker automatiseret går meget lettere, når børnene er vant til at tale om konkrete antal (som kager på et fad) uden at tælle.

Det næste og helt afgørende skridt i forhold til at etablere gode strategier for al talbehandling er at eleverne begynder at anvende deres automatiserede talsammenhænge  for at løse andre additionsstykker for eksempel løser 3+4 ved at bygge på deres viden om at 3+3=6 ”tre plus fire, den kan jeg ikke huske, men tre plus tre er seks, og så er det én mere, altså syv.”3plus3

Lidt hårdt sagt er regning at bestemme antal uden at tælle én ad gangen. Når man tæller en ad gangen på et regnestykke, så regner man slet ikke, man tæller blot.

Ovenstående kan godt virke som en spand meget koldt vand i hovedet på mange børnehaveklasseledere (og indskolingslærere og forældre). Så koldt at en del faktisk bliver aggressive og går til modangreb. ”Jamen skal vi tilbage til gamle dage, hvor de skal sidde på hænderne?”, ”Forældrene er ellers vildt tilfredse, mine elever kan faktisk regne med flercifrede tal nu, bare de kender positionssystemet kan de jo klare alt ved at tælle” og  ”Hvad er der nu i vejen med at tælle, det gør vi jo alle sammen en gang imellem?”

Nej børnene skal ikke sidde på hænderne, men de skal have at vide at det er bedre at prøve at gætte på om de kan det udenad eller bedre at regne videre fra noget de kan, end at tælle. Og ja, traditionelle regnemetoder kan gennemføres med brug af tælling. Og ja, vi tæller alle sammen en gang imellem! Personligt kan jeg ikke regne med datoer uden at tælle på fingrene. Men tællestrategierne er backup strategier – helt afgørende at have, men resursekrævende at bruge hele tiden. Det er her den afgørende forskel ligger. Det er voldsomt resursekrævende at tælle på fingrene en ad gangen. Man oplever ikke ulemperne i hverken børnehaveklassen eller 1. klasse, hvor tallene er små, og matematikken relativ enkelt. Men når der kommer division, tekstopgaver og senere ligninger, så er det meget uheldigt hvis så stor en del af de mentale resurser bliver brugt på tælleriet, at der ikke er mental overskud til alt det nye.

Og desværre er det sådan, at kommer man ikke videre end tælleriet i de første klasser, så fortsætter tælleriet hele livet, hvis man ikke får hjælp. Jeg tilbyder faktisk en sådan hjælp i form af RoS/Kuffert plus, men den skal tidligst bruges i slutningen af første klasse.

Den første regnestrategi

Eleverne skal lære at bruge de talsammenhænge de har automatiseret til at komme videre i andre regnestykker. For en del elever kommer det ikke af sig selv, de finder ikke selv på andre metoder end at tælle en ad gangen.

Start med at automatisere nogle af plusparrene dvs. 1+1, 2+2, 3+3 osv. og bygge videre på disse. Den første egentlig regnestrategi er så +1, det vil sige fx 3+4 regrupperes til 3+3+1. For at kunne dette skal man dels kunne genkende at der +1 til forskel mellem 3 og 4, altså genkende at regnestykket 3+4 er en af dem, hvor regnestrategien kan anvendes, og dels tage det næste tal i talrækken uden at tælle fra 1, altså komme fra 6 til 7, uden at skulle tælle fra 1.

Hvordan tilrettelægges undervisningen?
Hvordan skal man så lave en god undervisning i tal, der tager alt det ovenstående i betragtning? Det enkel men besværlige svar er: På så mange forskellige måder som muligt! Tænk i mange forskellige repræsentationer: Høre, se, læse, skrive, tegne, røre, gøre, vise, bygge … og i mange forskellige kontekster: Hverdag, andre fag, matematikken selv …

Og italesæt at det er godt at turde gætte, selvom man ikke er sikker på at man kan svaret udenad endnu, at det er godt at bruge tid på at finde en måde at regne sig frem fra noget man kan – også selvom det tager længere tid end at tælle.

Vi skal turde tale om og bruge tid på kvalitet – ikke bare kvantitet.

———–

I forlængelse af disse tanker har vi udgivet 3 tællebøger beregnet til de 2-5 årige, hvor vi introducerer brede talopfattelser gennem smukke tegninger.

AntalTal og fingreAntal og ting forside