Logikken er forsvundet fra målbeskrivelserne af vores fag. Men vi kan jo ikke undvære den, og den ”sniger” sig da også ind i både nationale tests, afsluttende prøver og formelsamlingen. I denne artikel fortæller jeg lidt om logikkens tilknytning til matematikundervisningen i grundskolen gennem tiden, og slår et slag for, at vi skal snakke lidt mere ”logisk” i undervisningen.

Nationale test

I nationale test for 3. klasse er der en opgave, hvor et søjlediagram viser hvad nogle skoleelever går til. Hver elev går kun til en ting. Nu er nationale tests jo hemmelige, så jeg kan ikke citere opgaven, men den kunne lige så godt lyde sådan: ”Hvor mange elever går til fodbold eller håndbold?”

Rigtig mange elever har svært ved den opgave. Der er selvfølgelig børn, der har problemer med at aflæse et søjlediagram, der er børn, der har svært ved at overskue alle ordene, og læse dem. Men det største problem er ”Hvad er det man skal?” ”Er det hvor mange der går til fodbold eller hvor mange der går til håndbold?”, ”Er det hvor mange der går til dem begge to?”, ”Skal man plusse eller minusse eller hvad?”

Det er det lille ord ”eller”, der volder de store problemer. ”Eller” er et logikord, eller en logisk forbinder, som sprogfolk kalder det. Netop de logiske forbindere er noget af det, der gør læsning i matematik anderledes og vanskeligere end læsning af mere hverdagsagtige tekster.

Mange af de børn, jeg har talt med om opgaven, synes der skulle stå ”og” i stedet for ”eller” ”For så havde vi godt vidst at man skulle plusse, fordi ’og’ betyder plus, det har vi lært”.  Gode lærere, der har fokus på sproget i matematik, har lært deres elever hvilke ord, der kan læses som addition og hvilke ord der kan læses som subtraktion. Men i denne opgave er det bare helt forkert. Her betyder ”eller” addition. ”Og” i stedet for ”eller” ville have givet svaret 0, da ingen elever går til begge dele.

At undervise i de små logiske forbindere ”og” og ”eller” i matematik handler om at undervise i logik.

Logik i matematikundervisningen

Efter sputnik-chokket i slutningen af 1950’erne opstod ”den ny matematik”, som ønskede at bringe videnskabens metoder ind i undervisningen. Der opstod en særdeles abstrakt matematikundervisning baseret på mængdelæren og logik, og der udkom en række nye lærebogssystemer. Modbølgen kom dog hurtig, og i læseplanen for matematik fra 1976 spiller mængdelæren og logikken en begrænset rolle. Som Gert Nielsen tilbage i 80’erne skrev i ”Nämnaren”: Mængdelære og logik, der havde vundet indpas i lærebøgerne for de ældste klassetrin midt i 60’erne, og som så ud til at blive en hjørnesten i lærebøgernes indledende matematikundervisning fra starten af 1970’erne, fik i ministeriets Undervisningsvejledning regning/matematik 1976 en meget afdæmpet placering. Jeg citerer derfra: Under arbejdet med hovedområdernes emner bør eleverne opnå fortrolighed med de mest elementære begreber fra mængdelæren. De bør være til rådighed på de mellemste klassetrin, først herefter kan der blive tale om kendskab til visse symbolanvendelser.Om logiske begreber skrives der: Disse vil kunne fungere ved den logik, der ligger i modersmålet, justeret på passende steder af hensyn til matematikkens sædvanlige tænkemåder, uden at hjælpebegrebet fra logik gøres til emne for undervisningen.

Modersmålets brug af logikken skal være ”justeret på passende steder”. Men ”uden at hjælpebegrebet fra logik gøres til emne for undervisningen”. Elevernes skal lære logik, uden at det gøres til genstand for undervisningen!

Den afdæmpede placering i 1976 afløses af fuldstændig fravær i Faghæfterne fra 1995 og frem. Søger man på ordet ”logik” i Fælles mål for matematik, får man ”Ingen resultater”.


Logikken er også væk fra læreruddannelsen. Søgning efter ordet logik i studieordningen for en tilfældig læreruddannelse gav ingen resultater.  Søgningen på ”logisk” gav en enkelt ”højteknologisk” og tre gange ”psykologisk”. Det psykologiske er rigt repræsenteret, men logikken er væk.

Men man kan jo ikke pille logikken helt ud af matematikken, hverken i grundskolen eller på læreruddannelsen. I dag ligger den implicit i ræsonnements- og tankegangskompetencen, for eksempel som det er formuleret i de Fælles mål efter 9. klassetrin, fase 3: ”Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer…” og ”Eleven har viden om enkle matematiske beviser”. Det må være svært uden en eller anden form for snak om logik?

Mængdelæren med logikken var på mange måder en fiasko. Børnene og deres forældre kunne slet ikke se meningen med det hele, og resultaterne rundt i verden viste, at eleverne ikke lærte at regne. Når et anerkendt blad som Der Spiegel har en forside som denne, giver det anledning til eftertanke. Så mængdelæren blev hældt ud, helt ud, men der røg desværre lidt for meget med ud.

Mine egne oplevelser med mængdelæren

Jeg gik i folkeskolen under mængdelærens storhedstid i begyndelsen af 70’erne. Og jeg elskede det! Det passede mig, at matematikken var systemer, der skulle læres, undersøges og passe sammen, og at regning kun var en perifer sidegevinst ved faget. Jeg har ikke oplevet overgangsproblemer, overgangen til gymnasiets epsilon-delta definitioner af kontinuitet krævede søvnløse nætter, men var fint i forlængelse af arbejdet med funktionsbegrebet fra folkeskolens mængdelære, og overgangen til universitetets førsteårskurser i algebra og analyse med blandt andet uniform kontinuitet og komplekse tal, var også i fin forlængelse af Christensen og Rindung fra gymnasiet. Så der er da mindst én, der havde stor glæde af mængdelæren.

Jeg har gemt mine elskede matematikbøger ”Tal og mængder”. I 3. klasse blev jeg præsenteret for følgende regler om ”og” og ”eller”:

  • ”og” regel: Kun når begge udsagn er sande, må du gå den sande vej.
  • ”eller” regel: Kun når begge udsagn er falske, skal du gå den falske vej.

Og masser af opgaver for at komme i dybden med reglerne. Her er en og-leg og en eller-leg:

Det kunne være både nyttigt og sjovt også i dag at undervise eleverne i den matematiske betydning af ”og” og ”eller”. Det kan sagtens foregå uden brug af symbolerne ∨ ∧ og uden brug af de logiske begreber ”udsagn”, ”sandt” og ”falsk” – selvom jeg nu godt kan se nytten af at lære at bruge ordene sandt og falsk.
Et andet nyttigt redskab, som jeg fandt i 3. klasses bogen, var mængdebollerne, eller Venn-diagrammerne, som de også kaldes:

I mit seneste Taltrygforløb med ti 7. klasses elever præsenterede jeg dem for problemløsningsmetoden LOVPORT. Under arbejdet med V for visualisering, som vi blandt andet forklarede med ”matematiktegning”, snakkede vi om, hvad en god matematiktegning egentlig er, og da måtte mængdebollerne ud af skabet og op på tavlen. Mængdebollerne kan bruges til at visualisere mange forskellige matematiske problemstillinger. Mine taltryg elever fandt ud af, at befolkningen i Grønland kunne være en oval, og befolkningen i Nuuk en mindre oval, inde i den store oval, at det ikke behøvede at ligne Grønland og at det var lige meget hvor Nuuk lå.
Mon ikke at opgaven i nationale test var gået lidt bedre, hvis der var leget ”eller-lege” og arbejdet bare lidt med mængdeboller som nyttige redskaber i arbejdet med matematik?

Hvis-så

Det er ikke kun i 3. klasses nationale tests, at manglende styr på logikken viser sig. Af og til optræder der i de afsluttende prøver opgaver, hvor eleverne skal bevise et eller andet. I maj 2013 var der for eksempel følgende opgave:

Dygtige elever kunne finde på at skrive følgende:
(a+b)+(b+c)+(a+c)=2(a+b+c)
2a+2b+2c=2a+2b+2c
2a+2b+2c-2a-2b-2c=0
0=0
Og så spørge: “Er jeg færdig nu?”
Jeg husker selv de utallige gange, jeg er endt med 0=0, og har spurgt min lærer “Er jeg færdig nu?” og fået det irriterende svar ”Det er ikke sikkert, det kommer an på …”
Ovenstående udregninger beviser faktisk at Mikael har ret, altså at højre side er lig med venstre side i øverste ligning. Der kan nemlig sættes biimplikationer hele vejen, det vil sige, vi kan deducere både oppefra og ned og nedefra og op. Vi kan altså starte nedefra med det sande udsagn at 0=0 og deducere os frem til den ønskede lighed øverst.

Man hvad nu hvis, man havde skrevet følgende:
(a+b)+(b+c)+(a+c)=2(a+b+c)
0*((a+b)+(b+c)+(a+c))=0*2(a+b+c)
0=0
Altså ganget med 0 i anden linje. Har man så vist noget som helst? Næ, det har man faktisk ikke. Der er ikke lavet noget galt, men der er kun en implikation fra trin 1 til trin 2, ikke en biimplikation. Man kan godt gange med 0, men man kan ikke dividere med 0. Man kan altså ikke slutte fra det sande udsagn nederst 0=0 til den ønskede lighed øverst, fordi vi går i stå fra trin 2 tilbage til trin 1.

Det kan være farligt at starte med at skrive det op man skal vise og så regne regne regne, for så til sidst at komme til noget oplagt rigtigt. Man skal være sikker på, at man kan deducere sig fra enden og tilbage til begyndelsen. Det er faktisk uinteressant, at man kan deducere sig fra det man skal vise sandheden af frem til noget korrekt. Det er det smukke og spændende ved implikationen, altså ved hvis-så problematikken.

En lille bid af min bog fra 5. klasse:

Jeg blev altså præsenteret for følgende regel:
Hvis-så reglen: Kun hvis 1. udsagn er sandt og 2. udsagn samtidig er falsk, skal du gå den falske vej.
Hvis-så er svær, og lidt overraskende. I vores bog ”Læs selv om Logik” har vi prøvet at uddybe reglen lidt:
Når din lærer siger: ”Hvis solen skinner i morgen, spiller vi rundbold”, kan vi finde ud af, hvornår det er et sandt udsagn.

  • Hvis solen skinnede dagen efter, og I spillede rundbold, var lærerens udsagn sandt.
  • Hvis solen ikke skinnede dagen efter, og I ikke spillede rundbold, var lærerens udsagn også sandt.
  • Hvis solen skinnede dagen efter, men I ikke spillede rundbold, løj læreren. Udsagnet var falsk.
  • Hvis solen ikke skinnede dagen efter, og I alligevel spillede rundbold, var udsagnet sandt. Læreren havde jo ikke sagt noget om, hvorvidt I måtte spille rundbold, hvis solen ikke skinnede.

Det er pointen ved ovenstående ”forkerte” bevis. Man kan fint starte med noget falsk og ende med noget sandt uden at have regnet forkert og uden at have forbrudt sig mod nogle hvis-så regler. Det vil sige implikationen nedad ikke sikrer os at det oprindelige udsagn er sandt, og når det er det man er interesseret i, skal man sørge for at implikationen vender begge veje, altså at man komme fra slutningen tilbage til begyndelsen igen.
Eleverne i 9.klasse møder alle en sætning, hvor hvis-så optræder, oveni købet i begge retninger, nemlig i Pythagoras’ sætning, som den er formuleret i formelsamlingen:

Mon ikke lidt snak om logikken bag hvis-så gør det mere forståeligt at der både er en ”Pythagors’ sætning” og en ”Omvendt Pythagoras”? Altså at den ene vej kan bruges til at udregne den tredje sidelængde i en retvinklet trekant, hvor man kender to af siderne. Den omvendte vej kan bruges til at afgøre om en trekant er retvinklet når man kender de tre sidelængder.
Det er ikke fordi, jeg tror, at eleverne bliver bedre til at bruge hverken Pythagoras eller den omvendte ved at snakke om logikken bag hvis-så, men måske kunne man tænde de dygtigste elever og få dem til at undre sig lidt over hvis-så logik?

Cirkelslutninger

En anden ofte begået logikfejl er cirkelslutningerne. Hvor man i de grove tilfælde starter med det man vil vise og regner sig frem til præcis det samme. For eksempel:
”Trekantens vinkelsum er 180 grader, fordi en trekant er halvdelen af en firkant, som har vinkelsummen 360 grader.”
”Jamen hvorfor er vinkelsummen af en firkant så 360 grader?”
”Det er fordi en firkant er det dobbelte af en trekant, som har vinkelsummen 180 grader”
Som regel ser eleven faktisk lidt fjoget ud, når han siger det sidste. Et eller andet sted ved han godt at der er noget galt i den argumentation, men ikke rigtig hvad. Det gale er, at det er en ren cirkelslutning.
Cirkelslutninger optræder også i mere forklædte udgaver, hvor man undervejs kommer til at bruge det man skal bevise. Jeg har som censor til lærereksamener ofte set Pythagoras’ sætning bevist ved hjælp af Pythagoras’ sætning.

Holberg

Som der blev lagt op til i undervisningsvejledningen i 1976, kan undervisningen i logik knyttes til ”modersmålet”. En måde at gøre det på er at samarbejde med faget dansk og tage fat i Erasmus Montanus. Er mor Nille virkelig en sten? Og er den der drikker virkelig lykkelig?
Erasmus: ”En sten kan ikke flyve.”
Mor Nille: ”Nej, det er rigtigt nok, undtagen når man kaster den.”
Erasmus: ”Du kan ikke flyve.”
Mor Nille: ”Det er også sandt.”
Erasmus: ”Altså er morlille en sten.”

Erasmus: ”Hør far, tror du på, at den, som drikker meget, er lykkelig?”
Jeppe: ”Jeg tror mere, at han er ulykkelig, for man kan drikke forstand og penge bort.”
Erasmus: ”Jeg vil bevise, at han er lykkelig. Den, som drikker meget, sover gerne godt. Er det ikke sandt?”
Jeppe: ”Det er sandt nok. Når jeg er fuld, sover jeg som en hest.”
Erasmus: ”Den, som sover godt, synder ikke. Er det ikke også sandt?”
Jeppe: ”Ja, det er sandt nok. Så længe man sover, synder man ikke.”
Erasmus: ”Den, som ikke synder, er lykkelig.”
Jeppe: ”Det er sandt!”
Erasmus: ”Altså gælder: Den, som drikker meget, er lykkelig.”

Disse to eksempler arbejder vi med i Læs selv om Logik, hvor vi argumenterer for, at de begge er vrøvl. Den første fordi Erasmus bruger logikken forkert, og den anden fordi de enkelte delargumenter er noget vrøvl – logikken er faktisk god nok.

Min pointe er, at vi ikke kan trække logikken ud af matematikken. Det har vi heller ikke gjort i dag, tænk for eksempel på ræsonnements- og tankegangskompetencen og Pythagoras’ sætning. Vi underviser bare ikke i det, vi forudsætter det og tester det fx i 3. klasses nationale tests.

Betyder det noget?

Betyder den manglende undervisning i logik noget? Jeg har argumenteret for, at den betyder noget i skolens tests og prøver, men betyder den også noget i virkeligheden? Thjaeh. I det normale sprog er ”eller” ofte præciseret til ”enten … eller” og ”og” til ”både … og”. Ord skaber virkelighed, og præcise ord skaber en mere præcis virkelighed, og dermed færre misforståelser. Det tror jeg betyder noget.