Da vi skrev 2. udgave af “Matematik for alle”, valgte vi at fjerne flere subtraktionsalgoritmer, da disse ikke bør prioriteres i skolen i dag. Algoritmer er for maskiner, der skal gøre det samme ved alle tal, hvorimod regnestrategier og fleksible regnemetoder er for mennesker, der kan og skal tænke sig om og vælge hvad der passer bedst for dem selv, den situation de er i og de tal de står med.
Men når det så er sagt, så er der ingen tvivl om, at der er masser af god matematik i algoritmerne. Vi foreslår, at man kan tage disse algoritmer op i udskolingen med fokus på ”Hvad er en algoritme?”, ”Hvordan virker en algoritme?” og ikke mindst ”Hvorfor virker en algoritme?”
Man kan starte med at vise eksemplerne for eleverne og lade dem finde ud af hvordan de virker og hvorfor de virker.

Lodret opstilling

I den lodrette opstilling udnytter man i høj grad positionssystemet. Man trækker to tal fra hinanden ciffer for ciffer, startende fra højre mod venstre, og når det ikke går (altså giver et negativt tal) udnytter man, at cifferet til venstre er ti gange så stort og tager dette med ind i beregningen. Når næste ciffer på denne måde inddrages i beregningen, kaldes dette, at ”man veksler en tier” eller, at ”man låner en tier”. Da metoden baserer sig på positionerne, er det hensigtsmæssigt med den lodrette opstilling, hvor man skriver cifre i samme position under hinanden. Tallene skrives altså, så de står under hinanden og flugter i højre side, når der er tale om hele tal, og med komma over komma, når der er tale om decimaltal.

635 – 238 ser således ud, udregnet med den lodrette opstilling:

Et ciffer med streg over betyder, at cifret er blevet én mindre, fordi der er vekslet én af disse til 10 af den mindre potens. Den vekslede tier skrives ovenover cifferet til højre for.
Den vekslede tier lægges til øverste ciffer, hvorefter det nederste ciffer nu kan trækkes fra.

Udregningen går således:
”5 minus 8,det kan man ikke. Veksl 10.
15 minus 8 er 7.
2 (som er 3 – 1) minus 3. Det kan man ikke. Veksl 10.
12 minus 3 er 9.
5 (som er 6 – 1) minus 2, det er 3.”

Når man ser på, hvorfor den lodrette opstilling virker, er udregningerne følgende:
Vi ser først på enerne, og venter med at se på resten.
5 – 8 er et negativt tal, så vi må veksle 10.
10 + 5 – 8 = 7.
Første del af resultatet er på plads.
Vi ser derefter på tierne.
(30 – de vekslede 10) – 30 giver et negativt tal, så vi må veksle 100.
100 + (30 – 10) – 30 = 90.
Anden del af resultatet er nu på plads.
Til slut ser vi på hundrederne.
(600 – de vekslede 100) – 200 = 300.
Tredje del af resultatet er nu på plads.

Fordelen ved denne metode er, at den er hurtig at bruge, da der ikke skal skrives ret meget. Ulempen er, at den kan være vanskelig at forstå, og dermed vanskelig at huske, for mange elever. Det bliver nemt blot en række af uforståelige ting, der skal gøres i en uforståelig rækkefølge.

Menten i midten

En variant af den lodrette opstilling er, når den vekslede tier ikke straks trække fra cifferet til venstre, men lægges til nederste ciffer inden denne sum trækkes fra øverste ciffer.

635 – 238 ser således ud, udregnet med menten i midten:

Udregningen går således:
”5 minus 8, det kan man ikke. Tag 10 mere, som trækkes fra næste gang.
15 minus 8 er 7.
3 minus 4 (som er 3 + 1), det kan man ikke. Tag 10 mere, som trækkes fra næste gang.
13 minus 4 er 9.
6 minus 3 (som er 2 + 1), det er 3.”

Mere detaljeret er det følgende, vi gør. Metoden minder på mange måder om den lodrette opstilling. Forskellen er alene, hvordan man håndterer det vekslede.Vi ser først på enerne, og venter med at se på resten.
5 – 8 er et negativt tal, så vi må veksle 10.
10 + 5 – 8 = 7.
Første del af resultatet er på plads.
Vi ser derefter på tierne.
30 – (30 + de vekslede 10) giver et negativt tal, så vi må veksle 100.
100 + 30 – (30 + 10) = 90.
Anden del af resultatet er nu på plads.
Til slut ser vi på hundrederne.
600 – (200 + de vekslede 100) = 300.
Tredje del af resultatet er nu på plads.

Fordelene ved denne metode er, i forhold til den lodrette opstilling, at man ikke i hovedet skal trække en fra tal, der er streget over. Ulempen er, ligesom ved den lodrette opstilling, at metoden kan være vanskelig at forstå og huske.

Lån så lidt som muligt

Nogle elever stiller det logiske spørgsmål ”Hvorfor skal jeg låne 10, når jeg kun har brug for 3?” Det kan give anledning til menter, der ser noget anderledes ud end sædvanligt.635 – 238 ser således ud, udregnet med lån så lidt som muligt:

Udregningen går således:
”5 minus 8, det kan man ikke, men med 3 mere kan man.
Jeg veksler 10, bruger 3 (som sammen med de 5 giver 8) og har 7 tilbage.
2 (som er 3 – 1) minus 3, det kan man ikke, men med 1 mere kan man.
Jeg veksler 10, bruger 1 (som sammen med de 2 giver 3) og har 9 tilbage.
5 (som er 6 – 1) minus 2, det er 3.”

Skrevet detaljeret, er der følgende skridt i udregningen, som også baserer sig på positionssystemets egenskaber:

Vi ser først på enerne.
5 – 8 = –3. Vi veksler 10. 10 – 3 = 7.
Første del af resultatet er fundet.
Vi ser derefter på tierne.
(30 – de vekslede 10) – 30 = –10. Vi veksler 100. 100 – 10 = 90.
Anden del af resultatet er fundet.
Endelig ser vi på hundrederne.
(600 – de vekslede 100) – 200 = 300.
Tredje del af resultatet er fundet.

Fordelene ved denne metode er, at den baserer sig på opfyldning indenfor de første 9 naturlige tal, og på de gode venner. Man undgår vanskelige subtraktioner som 15 – 8.Ulempen er, at den er lige så vanskelig at forstå som de to foregående metoder, med en række (for nogle) uforståelige ting, der skal gøres i en bestemt rækkefølge.