Figurer med ligesidede trekanter

I denne aktivitet arbejdes der med den mindste regulære polygon vi har, nemlig den ligesidede trekant.

Polygon betyder mangekant. Trekanten er mindst på den måde, at tre er det færreste antal kanter en mangekant kan have, en tokant findes ikke som flad figur.

Regulær betyder, at alle sider og vinkler er ens. For trekantens vedkommende giver det sig selv, at hvis alle sider er ens, er vinklerne det også.

Fold en ligesidet trekant af en cirkel

En smuk måde at lave en ligesidet trekant, som man kan bygge med, er først at klippe en cirkel og derefter folde cirklen til en ligesidet trekant, som så oveni købet har limkanter.

Fold et stykke af cirklen ind, så periferien når centrum. Gentag to gange mere, fra hvert af de to ”hjørner”, der komme efter første foldning.

Er det virkelig en ligesidet trekant?

En rigtig matematiker bør altid stille sig selv spørgsmål som: ”Kan man nu være sikker på, at det passer helt præcist, at det virkelig er en ligesidet trekant?”

Ja, det kan man, og det kan man for eksempel overbevise sig om på følgende måde:

Det fede blå linjestykke er lige så lang som det tynde blå linjestykke, da vi netop folder periferien ind til centrum. Det fede røde linjestykke har samme længde som det tynde røde linjestykke, på grund af symmetrien ved foldningen. De røde og det blå linjestykker er alle lige lange, de har nemlig længden r, radius af cirklen. Ved at finde vinklerne her og gentage foldningen tre steder finder man at den foldede trekant har tre vinkelspidser med vinklerne 60 grader.

Deltaedere

Med en god håndfuld foldede ligesidede trekanter med limkant, kan man nu give sig til at eksperimentere med rumlige figurer af ligesidede trekanter. Disse kaldes deltaedere. Delta er et græsk bogstav og skrives i stor udgave som Δ, en ligesidet trekant.

Hvor mange er deltaedere er der egentlig? Uendelig mange! Men, hvis vi stiller nogle flere krav, kan vi begrænse antallet, og få lidt mere styr på dem.

Regulære konvekse deltaedere

I et regulært konveks deltaeder er der lige mange trekanter, der støder sammen i hvert hjørne, og alle hjørner vender udad. Hvor mange er der af dem?

Her kan man gå systematisk til værks, og starte med at sætte tre sammen (to giver ikke noget rumligt), derefter fire, så fem og så videre. Man opdager, at sætter man seks sammen bliver det fladt, og sætter man syv sammen buler det ud, og man kan ikke længere lave en konveks figur.

Dette kan man eksperimentere sig frem til, men man kan også regne sig frem til det ved at beregne vinkelsummen for hvert hjørne: 3 · 60 = 180, 4 · 60 = 240, 5 · 60 = 300 alle tre med vinkelsum under 360, dvs. det bliver skålformet, men 6 · 60 = 360 altså fladt og 7 · 60 = 420 er større end 360 grader, dv.s bulet.

Af regulære konvekse deltaedere er der altså tre med hhv. tre, fire og fem trekanter i hvert hjørne.

Der findes fem regulære polyedere. De kaldes de fem platoniske legemer. De tre deltaedere er tre af de fem platoniske legemer.

Figuren med tre trekanter i hvert hjørne hedder tetraederet. Tetra kommer også fra græsk og betyder fire, der er fire trekanter i alt i figuren.
Figuren med fire trekanter i hvert hjørne hedder oktaeder. Okta betyder otte, der er otte trekanter i alt i figuren.
Figuren med fem trekanter i hvert hjørne hedder ikosaeder. Ikosa betyder 20, der er 20 trekanter i alt i figuren.

Ikke regulære, strengt konvekse deltaedere

I et ikke regulært, strengt konvekst deltaeder vender alle hjørner ud af, og ikke alle hjørner er ens. Det ”strenge” består i, at man ikke tillader at to trekanter støder fladt sammen, så de f. eks. danner en flad rombe. Af den slags deltaedere, hvor man tillader at trekanter kan støde fladt sammen, er der uendelig mange.

Man kan starte med et hjørne bestående af tre trekanter og udforske hvordan resten kan se ud. Gå videre med et hjørne bestående af fire trekanter og slutte med undersøge ud fra et hjørne bestående af fem trekanter. Hvis man noterer antal flader og antal hjørner af hver slags (tre sammen, fire sammen eller fem sammen), kan man holde styr på, at man ikke tæller den samme med flere gange.

I alt er der fem ikke regulære, strengt konvekse deltaedere.

Skemaet nedenfor giver et overblik over de beskrevne deltaedere. Og med disse data kan man give sig selv tid til at fascineres af Eulers polyedersætning der siger, at i et vilkårligt konvekst polyeder gælder at f + h - k = 2, hvor f er antallet af flader, h er antallet af hjørner og k er antallet af kanter.

Figur	Antal flader	Antal kanter	Antal hjørner i alt	Antal hjørner med fem	Antal hjørner med fire	Antal hjørner med tre
De regulære deltaedere
Tetraeder	4	6	4	0	0	4
Oktaeder	8	12	6	0	6	0
Ikosaeder	20	30	12	12	0	0
De ikke regulære, strengt konvekse deltaedere
Triangulær bipyramide	6	9	5	0	3	2
Pentagonal bipyramide	10	15	7	2	5	0
Dodekadeltaeder	12	18	8	4	4	0
Tetrakaidekadeltaeder	14	21	9	6	3	0
Hekkaidekadeltaeder	16	24	10	8	2	0

Konkave deltaedere

Konkav, betyder at der er hjørner, der vender indad. Der er uendelig mange konkave deltaedere.

Nogle flotte konkave polyedere er ”stjernerne”, som man kan få ved at bygge pyramider på alle fladerne af de platoniske legemer. Der er også noget der ligner en båd. Eller et næb.

Denne aktivitet kan hentes som PDF-fil på dette link. Der er også en side til udlevering til eleverne samt et kopiark.