Regnemetoder

Emnet i denne artikel behandles også i fire af mine matematikvideoer (se menupunktet “video”) og i min bog, Matematik for alle – Håndbog i matematikundervisning. Bogen kan købes i vores online-butik.

Brug af elevers egne regnemetoder har været debatteret siden faghæftet fra 1995, og sandsynligvis endnu længere.

Haandbog-reklameDebatten opstod, fordi målet med matematikundervisningen skiftede. Før 1995 var formålet at uddanne folk til for eksempel at kunne lave regnskaber uden brug af elektroniske hjælpemidler. Fra 1995 skiftede formålet til i højere grad at uddanne folk til at kunne håndtere matematiske problemstillinger, bl.a. ved hjælp af elektroniske hjælpemidler. Sagt lidt firkantet, skulle man tidligere uddanne elever til at være gode stabile lommeregnere – i dag skal elever uddannes til at bruge disse.

Før lærte de fleste elever at beherske de traditionelle regnemetoder for de fire regningsarter så godt at de kunne dem i på rygraden – også efter at de var gået ud af skolen. Faktisk kan mange også som voksne huske metoderne, selvom der er gået mange år hvor de ikke har brugt dem. Men også dengang var der elever der ikke lærte at beherske alle de fire regnemetoder, og da slet ikke kunne huske dem et par år efter at de var gået ud af skolen.

Den tid der tidligere var afsat til at forklare, uddybe og træne regnemetoder for de fire regningsarter er der slet ikke til disse aktiviteter i dag. Andre dele af den matematiske dannelse tager tiden.

Den ændrede undervisning siden 1995 har givet en masse erfaringer i hvordan børn regner, når de ikke bruger de traditionelle metoder. Det viser sig, at de fleste elever regner fint uden at have fået præsenteret en metode. Alt afhængig af tallene og situationer bruger elever forskellige strategier og laver nye strategier ved at kombinere andre. I de fleste tilfælde går det godt.
Foraeldrebog-reklame
At eleverne kan regne, betyder ikke at de har en regnemetode. Man har en metode når man ikke skal “opfinde den dybe tallerken” hver gang man møder et nyt regnestykke. Med en metode ved man hvad man plejer at gøre, og man ved at metoden virker hver gang. Med en metode behøver man altså ikke bruge så meget energi på udregningerne.

Mange elever griber de traditionelle metoder med kyshånd “Hvorfor viste du mig ikke det med det samme” kan være et typisk udsagn fra disse børn. Får man denne respons fra elever, er de parate til de traditionelle metoder.

Der er også nogle elever der føler sig mere tilpas ved deres egne måder at regne på. Disse elever har nogle – måske flere – regnemetoder. Ikke nødvendigvis nogle effektive eller 100% korrekte metoder. For at hjælpe disse elever videre, skal man introducere nogle metoder for dem, der baserer sig på deres egne måder at regne på, men er mere korrekte eller effektive. Denne artikel præsenterer nogle sådanne metoder.

Endelig er der en lille gruppe børn der kæmper med hver udregning. De finder ikke selv på andre måder at regne på, end simple tællestrategier. Simple tællestrategier er typisk så tidskrævende ved større tal, at eleven på forhånd opgiver, eller at der opstår fejl undervejs i udregningen. Også disse børn skal tilbydes metoder. Enkle metoder der sætter dem i stand til at foretage udregninger hurtigere og sikrere end ved at tælle. Denne artikel præsenterer også nogle metoder for disse elever.

Alle elever skal tilbydes metoder som de kan forstå og huske. De metoder som baserer sig på børns egne måder at regne på er typisk lettere at forstå end de traditionelle regnemetoder, og flere af dem er så enkle, at de kan tilbydes de børn som ellers kun har tællestrategier.

Man kan spørge om, hvorfor man skal bekymre sig om at lære eleverne regnemetoder, når man nu altid har elektroniske hjælpemidler lige ved hånden? Jeg synes det bedste argument er, at vi skal kunne foretage overslagsregning – og lave dette overslag så præcis som man ønsker det. Derudover giver regning en øget forståelse for tal og regneoperationerne.

Plus

Den traditionelle

I et positionssystem er det meget nemt at addere selv meget store tal. Man skal bare lægge cifrene sammen to og to, og så kan man i princippet lægge alle mulige tal sammen uanset hvor store de er.

Den traditionelle metode for addition af to tal udnytter dette. Man lægger cifrene i hver position sammen startende fra højre mod venstre, og hver gang summen af to cifre overstiger 9, lægges der 1 til summen af de næste to cifre. For at holde styr på positionerne har man opfundet den lodrette opstilling, hvor man skriver cifre i samme position under hinanden, dvs. tallene skrives så de står under hinanden og flugter i højre side.

Når summen af to cifre overstiger 9 skriver man et 1-tal over det øverste tal i positionen til venstre for. Det ciffer man skriver ovenover det øverste tal kaldes menten (mente kommer fra “at huske”, man skal altså huske at man har et ciffer mere at lægge til i næste udregning).

For eksempel ser 397+238 således ud i lodret opstilling:
blogsep07-1
Udregningen går således:
7 plus 8, det er 15.
5 plus 1 i mente.
1 plus 9 plus 3 er 13.
3 plus 1 i mente
1 plus 3 plus 2 er 6

Når man ser på, hvordan vi egentlig regner, er det lidt mere indviklet end vi normalt tænker over. Vi gør følgende:
Vi starter med at isolere enerne og venter med at se på resten.
397 + 238 =
390 + 230 + 7 + 8
Enerne lægges sammen. Bliver summen tocifret deles den igen i tiere og enere.
7 + 8 = 15 = 10 + 5
Sidste ciffer i resultatet (5) er på plads, og vi fik 10 i overskud.

Nu isoleres tierne.
390 + 230 =
300 + 200 + 90 + 30
Vi havde 10 fra før, og når vi lægger tierne sammen får vi
90+30+10=130
Bliver summen trecifret deles den igen i hundrede og tiere
100+30
Nu er tier-delen af resultatet på plads, nemlig 30, og vi fik 100 i overskud

Endelig ser vi på hundrederne.
300+200+100=600

Resultatet er summen:
600+30+5

Selvom ovenstående lodrette opstilling virker fuldstændig krystalklar og logisk for de fleste voksne, så kan den være svær at begribe for en del børn. De fleste børn kan dog lære at bruge metoden, dvs. lære at stille tallene op rigtig og lære hvor det “overskydende” 1-tal skal skrives. Det er også helt i orden at der ind i mellem er metoder, som man bare lærer uden at forstå dem, men der skal gerne komme mere forståelse hen ad vejen og der skal gerne ikke være ret meget ad gangen i hjernen af ikke forståede metoder. Når mængden af ikke forståede ting er for stor er det dels svært at blive ved med at huske det, dels bliver ens selvtillid i matematik mindre og mindre jo større bunken af ikke forståede ting er.

Den helt enkle

For de fleste børn kan det være en fordel at starte med nedenstående metode, de fleste vil så med tiden kunne gå over til den traditionelle metode, men en lille gruppe vil blive ved med at bruge nedenstående.

I denne metode udnyttes også positionssystemets fordele.
Men der regnes fra venstre mod højre, så de mest betydende positioner lægges sammen først. Først lægges hundrederne sammen, så tierne, så enerne.
Så ser man på resultaterne af disse tre udregninger og gentager processen, med så at lægge hundrederne sammen, tierne sammen og enerne sammen. Man fortsætter på denne måde indtil de tal man har hele hundreder, hele tiere og enere, som så er nemme at lægge sammen.

Fordelene ved denne metoder er følgende:
Man regner i læseretningen, som eleverne kender.
Metoden udnytter talordene, man lægger de “dele” sammen, som man kan høre i sproget “tre hundrede og syv og halvfems plus to hundrede og otte og tredive”. Desværre har dansk den lille finesse at vi siger tierne til sidst.
Allerede efter først udregning har eleverne et overslag over resultatet.
Man lægger tal sammen – ikke kun cifre. Dvs. man siger for eksempel “tre hundrede plus to hundrede”, og ikke bare “tre plus to”. Det har den fordel at eleverne i højere grad er bevidste om hvad de rent faktisk lægger sammen end de er i den traditionelle metode.

Ulempen er, at der skal skrives mere og derfor tager den lidt længere tid end den traditionelle

Opstillingen kan være følgende, hvor hver kolonne læses for sig, oppefra og ned.
blogsep07-2

Jo bedre eleverne bliver til hovedregning, desto færre søjler er det nødvendigt at skrive.

Lidt ad gangen

Denne metode kræver også at man kan flere regnestykker i hovedet, for eksempel at lægge 30 til 597.

Metoden går ud på at man deler andet tal op i hundreder, tiere og enere, derefter lægger man først hundrederne til første tal, dernæst tierne og endelig enerne.

Det kan se ud på følgende måde:
397 + 238 = 397 + 200 + 30 + 8 = 597 + 30 + 8 = 627 + 8 = 635

Fordelene ved denne metode er de samme som den helt enkle metode.

Ulempen er, at den kræver at man kan flere og sværere udregninger i hovedet. Derudover skal der skrives en del, så metoden tager lidt længere tid end den traditionelle, men er dog lidt hurtigere end den helt enkle.

Minus

Den traditionelle

I den traditionelle metode udnytter man i allerhøjeste grad positionssystemet. Man trækker to tal fra hinanden ciffer for ciffer startende fra højre mod venstre, og når det ikke går (altså giver et negativt tal), så udnytter man at cifferet til venstre er ti gange så stort og tager dette med ind i beregningen.

Når næste ciffer på denne måde inddrages i beregningen kaldes dette at “man låner en tier” eller “man veksler en tier”.
Da denne metode baserer sig på positionerne, er det hensigtsmæssigt med den lodrette opstilling, hvor man skriver cifre i samme position under hinanden. Tallene skrives altså så de står under hinanden og flugter i højre side.

635-238 ser således ud i lodret opstilling, udregnet med den traditionelle metode:
blogsep07-3

Et ciffer med streg over betyder at cifret er blevet en mindre, fordi der er “lånt” eller “vekslet” En af disse til 10 af den mindre potens. Den vekslede tier skrives ovenover cifrene til højre for. Den vekslede tier lægges til øverste ciffer, hvorefter det nederste ciffer nu kan trækkes fra.

Udregningen går således:
5 minus 8, det kan man ikke. Veksl 10.
15 minus 8 er 7.
2 (som er 3-1) minus 3 det kan man ikke. Veksl 10.
12 minus 3 er 9.
5 (som er 6-1) minus 2, det er 3

Mere detaljeret er det følgende vi gør:
Vi ser først på enerne, og venter med at se på resten.
5-8 er et negativt tal, så vi må veksle 10
10+5-8=7
Første del af resultatet er på plads.

Vi ser derefter på tierne.
(30 – de vekslede 10) – 30 giver et negativt tal, så vi må veksle 100
100 + 30 – 10 – 30 = 90
Anden del af resultatet er nu på plads.

Til slut ser vi på hundrederne.
(600 – de vekslede 100) – 200 = 300
Tredje del af resultatet er nu på plads.

Fordelen ved denne metode er, at den er hurtig at bruge, da der ikke skal skrives ret meget. Ulempen er, at den kan være vanskelig at forstå, og dermed vanskelig at huske for mange elever. Der bliver nemt en bunke af uforståelige ting der skal gøres i en uforståelig rækkefølge.

Når man skal veksle henover nogle nuller som for eksempel 2035-789 går det ofte galt. Her skal man først veksle 100, og derefter veksle 10 af disse. Den nemmeste måde at håndtere disse udregninger, er ved kassedamemetoden.

Menten i midten

En variant af ovenstående er når den vekslede tier ikke straks trækkes fra cifferet til venstre, men lægges til nederste ciffer inden denne sum trækkes fra øverste ciffer.

635-238 ser således ud, udregnet med “Menten i midten”:
blogsep07-4

Udregningen går således:
5 minus 8, det kan man ikke. Tag 10 mere, som trækkes fra næste gang.
15 minus 8 er 7.
3 minus 4 (som er 3+1), det kan man ikke. Tag 10 mere, som trækkes fra næste gang.
13 minus 4 er 9.
6 minus 3 (som er 2+1), det er 3

Mere detaljeret er det følgende vi gør. Metoden minder på mange måder om den traditionelle. Forskellen er alene hvordan man håndterer det vekslede.

Vi ser først på enerne, og venter med at se på resten.
5-8 er et negativt tal, så vi må veksle 10
10+5-8=7
Første del af resultatet er på plads.

Vi ser derefter på tierne.
30 – (30 + de vekslede 10) giver et negativt tal, så vi må veksle 100
100 + 30 – 30 – 10 = 90
Anden del af resultatet er nu på plads.

Til slut ser vi på hundrederne.
600 – (200 + de vekslede 100) = 300
Tredje del af resultatet er nu på plads.

Fordelene ved denne metode er, i forhold til den traditionelle, at man skal ikke i hovedet kunne trække 1 fra tal der er streget over.

Ulempen er, ligesom ved den traditionelle, at den kan være vanskelig at forstå og huske for mange elever.

Andreas’ metode

Andreas er en dreng, der stillede det logiske spørgsmål “Hvorfor skal jeg låne 10, når jeg kun har brug for 3?” Derfor ser Andreas’ menter noget anderledes ud end sædvanligt:

635-238 ser således ud, udregnet med “Andreas’ metode”:
blogsep07-5

Udregningen går således:
5 minus 8, det kan man ikke, men med 3 mere kan man.
Jeg veksler 10, bruger 3 (som sammen med de 5 giver 8) og har 7 tilbage.
2 (som er 3-1) minus 3, det kan man ikke, men med 1 mere kan man.
Jeg veksler 10, bruger 1 (som sammen med de 2 giver 3) og har 9 tilbage.
5 (som er 6-1) minus 2, det er 3.

Skrevet detaljeret, er der følgende skridt i udregningen, som også baserer sig på positionssystemets egenskaber:
Vi ser først på enerne.
5-8 = -3. Vi veksler 10. 10-3 = 7. Første del af i resultatet er fundet.

Vi ser derefter på tierne.
(30 – de vekslede 10) – 30 = -10. Vi veksler 100. 100 – 10 = 90.
Anden del af resultatet er fundet.

Endelig ser vi på hundrederne.
(600 – de vekslede 100) – 200 = 300.
Tredje del af resultatet er fundet.

Fordelene ved denne metode er at den baserer sig på opfyldning indenfor de første 9 naturlige tal, og på de gode venner. Man undgår de vanskelige subtraktioner som 15-8.
Ulempen er, at den er lige så vanskelig at forstå som de to foregående metoder, med en række (for nogle) uforståelige ting der skal gøres i en bestemt rækkefølge.

Kassedamemetoden

Kassedamemetoden kaldes også “Fylde op metoden”. Som en kassedame giver tilbage, starter man fra det mindste beløb og fylder op indtil man når det største beløb. Kassedamemetoden er således baseret på addition.

635-238 ser for eksempel sådan ud, udregnet med “Kassedamemetoden”.
blogsep07-6

Man kan vælge de trin man bedst selv kan overskue. I ovenstående eksempel kunne nogle for eksempel vælge at indskyde et ekstra trin ved 250, 500 eller 625, eller erstatte trinnet på 240 med et på 250.

Med lidt øvelse er der ikke brug for at skrive trinnene i opfyldningen, så ser det således ud:
blogsep07-7

Til at lægge tallene i kolonnen sammen kan der anvendes forskellige additionsmetoder. Denne opstilling kan meget nemt kombineres med “Den helt enkle” additionsmetode.

Udregningen går således:
Fra 238 op til 240, det er 2.
Fra 240 op til 300, det er 60.
Fra 300 op til 600, det er 300.
Fra 600 op til 635, det er 35.
Så lægger vi det hele sammen, det giver 397

Da det er tydeligt hvad der foregår, skrives denne metode ikke yderligere ud.

Fordelene ved metoden er at den baserer sig på addition, som er den nemmeste regningsart for de fleste, og at man kan tage de enkelte trin, så store eller så små som man kan overskue.
Ulempen er, at der skal skrives mere, så den tager længere tid end den traditionelle.

Alle ovenstående metoder fungerer også med decimaltal.

Gange

Den traditionelle

I den traditionelle metode udnytter man positionssystemet. Man ganger to tal med hinanden ciffer for ciffer. Alle cifre fra det ene tal skal ganges med alle cifre fra det andet tal og man skal huske at rykke en plads til venstre, hver gang man ganger med et ciffer med en højere pladsværdi. Desuden bruger man menteprincippet, når en multiplikation giver et tocifret resultat føres tier cifferet over det næste ciffer der skal multipliceres med, hvor menten så lægges til efter multiplikationen. Til sidst skal man have lagt mellemresultaterne sammen.
Den traditionelle metode involverer således både multiplikation og addition, og mellemresultaterne skrives i lodret opstilling.

23 * 146 ser således ud i lodret opstilling, udregnet med den traditionelle metode:
blogsep07-8

Menterne står med mindre skrifttype, og overstreges når de er “brugt”, altså er taget med i udregningen. Menten over 2-tallet er en mente fra additionerne af mellemresultaterne.

Udregningen går således:
3 gange 6 er 18. De ti føres som mente over 4 tallet.
3 gange 4 er 12, plus 1 fra menten, det er 13. De ti føres som mente over 1 tallet.
3 gange 1 er 3, plus 1 fra menten, det er 4. Så er man færdig med at gange med 3.
På næste linie startes med at skrive 0 yderst til højre, og derefter begynder man at gange. 2 gange 6 er 12. 2 skrives på pladsen til venstre for 0’et. De ti føres som mente over 4 tallet.
2 gange 4 er 8, plus 1 fra menten, det er 9.
2 gange 1 er 2.
Nu lægges sammen med den traditionelle metode, det giver 3358

Det er også helt normalt at lave den modsatte opstilling, altså gange fra højre mod venstre, så mellemresultaterne står under tallet til venstre. I denne metode vil man også typisk sætte det mindste tal til højre for det største tal.

Mere detaljeret er det følgende vi gør:
Vi udregner først 3 * 146, derefter 20 * 146 og til slut lægger vi disse to tal sammen.

Ved 3 * 146 udregner vi først 3 * 6. Resultatet 18 er større end 9. De 8 er en del af resultatet, og de resterende 10 gemmes.
Derefter udregnes 3 * 40. Resultatet 120 + 10 fra første udregning = 130 er større end 90. De 30 er en del af resultatet og de resterende 100 gemmes.
Endelig udregnes 3 * 100. Resultatet 300 + 100 fra anden udregning = 400 er sidste del af resultatet. 3 * 146 er altså 8 + 30 + 400 = 438

20 * 146 udregner vi som 10 * 2 * 146.
2 * 146 udregnes på samme måde som ovenfor, og giver 292.
10 * 292 = 2920.

0’et yderst til højre i anden linie i udregningen er altså udtryk for at vi ganger med 10.

Det samlede produkt udregnes nu som summen af de to udregninger: 438 + 2920 = 3358

Fordelen ved denne metode er, at den er hurtig at bruge, da der ikke skal skrives ret meget.

Som de traditionelle metoder indenfor addition og subtraktion kan også denne traditionelle metode være vanskelig at forstå, og dermed vanskelig at huske for mange elever. Særlige problemer giver menten under multiplikationen og nullerne i højre side når man skifter en linje ned.

Den helt enkle

For de fleste børn kan det være en fordel at introducere gange med nedenstående metode. En del vil så kunne gå over til den traditionelle med tiden, men en del vil vedblive med at bruge denne metode, da den giver mening for dem og de kan huske den.

I denne metode regnes fra venstre mod højre, så de mest betydende positioner ganges sammen først. Man vedbliver med at gange med den mest betydende position fra det ene tal med alle dele af det andet tal, før man går videre med næst mest betydende position i første tal der ganges med alle dele af det andet tal.
Mellemresultaterne lægges sammen til sidst. Der kan man bruge en hvilken som helst additionsmetode.

23 * 146 ser således, udregnet med den helt enkle gange metode.
blogsep07-9

Udregningen går således:
20 gange 100 er 2000.
20 gange 40 er 800.
20 gange 6 er 120
3 gange 100 er 300.
3 gange 40 er 120.
3 gange 1 er 3.
Så lægges delresultaterne sammen, det giver 3358.

Fordelene ved denne metoder er mangfoldige. Man regner i læseretningen, som eleverne kender. Allerede efter første udregning har eleverne et overslag over resultatet.
Metoden udnytter talordene, da man ganger de dele sammen, som man kan høre i sproget: “tre og tyve gange et hundrede og seks og fyrre”. Hvert af disse ord skal ganges med hinanden. Desværre har dansk den lille finesse at vi siger tierne til sidst.
Man ganger tal sammen, og ikke kun cifre. Man siger for eksempel “tyve gange fyrre” og ikke bare “to gange fire”. Det betyder at eleverne i højere grad er bevidste om hvad de rent faktisk ganger sammen end de er i den traditionelle metode. Dermed støttes deres udvikling af talfornemmelse og overslagsregning.

Ulempen er, at der skal skrives mere, så metoden tager længere tid end den traditionelle.

Den helt enkle metode kan også regnes i følgende opstilling der dels gør det lidt nemmere at huske alt hvad der skal ganges og dels understøtter opfattelsen af gange som noget der med areal at gøre.
blogsep07-10
Tallene i de seks indre felter skal lægges sammen med en additionsmetode.

Begge ovenstående metoder fungerer også med decimaltal.

Andre metoder som elever selv opfinder

Elever kan selv opfinde mange gode og rigtige måder til at finde resultatet af et gangestykke. Det at en elev kan løse et bestemt regnestykke korrekt, er ikke nødvendigvis udtryk for, at eleven har en strategi for andre, tilsvarende regnestykker. I langt de fleste tilfælde, kan læreren hjælpe eleven til at kunne lave tilsvarende udregninger i andre situationer, også. Eleven er hermed i gang med at lære en metode, som er naturlig for eleven selv.

Nedenfor er nogle af de metoder som elever ofte selv finder på:

Læg sammen

Addition er den mest grundlæggende regningsart, som også er den første eleverne har lært. Derfor vælger mange børn at udregne gange som gentaget addition, så 3?15 for eksempel udregnes som 15+15+15.

Fordelen ved denne metode er, at den virker meget naturlig for mange børn. Metoden kan udvides til at udnytte produkter man kender, så for eksempel 6 * 15 = 3 * 2 * 15 hvis eleven på forhånd ved hvad 2 * 15 er.

Ulemperne ved denne metode er at den bliver meget besværlig ved store tal, og ikke kan udvides til decimaltal gange decimaltal. Det går fint med 2 * 3,75 = 3,75 + 3,75, men 2,25 * 3,75 er svær at beregne ved ren addition.

Dobbelt op

Overraskende mange børn har en naturlig flair for 2-potenserne. Måske fordi de har sagt 2 + 2 er 4, 4 + 4 er 8, 8 + 8 er 16. Denne viden er nogle børn i stand til at overføre til multiplikation, så for eksempel 8 * 12 udregnes som 2 + 12 = 24, 24 + 24 = 48 og 48 + 48 = 96.

Nogle børn kan bygge videre på denne metode til at gange med andre tal end 2-potenser, og for eksempel udregne 7 * 12 som 8 * 12 – 12, eller 7 * 12 som 4 * 12 + 12 + 12 + 12.

Fordelen ved denne metode er at den støtter videreudviklingen af god talforståelse og talfornemmelse hos barnet.

Ulemperne er, at metoden ikke nemt kan udvides til alle hele tal og er endnu vanskeligere at anvende til decimaltal. Derudover kan det være vanskeligt at holde styr på hvor mange gange man har ganget.

Udnytte produkter man kender

I denne metode udnytter man kendskabet til andre gangestykker for at finde resultatet. Ved udregning af for eksempel 5 * 28 ved nogle fra erfaringer med mønter at 5 * 25 = 125, så mangler man bare 5 * 3, som er 15 dvs. resultatet er 125 + 15 = 140

Dette er grundlæggende hvad hovedregning bygger på, så det er vigtigt at alle børn til en vis grad lærer at splitte gangestykker op i andre gangestykker.

Division

Den traditionelle

“Dele, gange, trække fra, hive ned” giver den traditionelle metode på seks ord. Den traditionelle metode går ud på at gætte på resultatet lidt ad gangen, gange og trække fra for at se hvor meget man mangler at dele ud og fortsætte på denne måde.
Det eneste der adskiller den traditionelle metode fra “Lidt ad gangen” er, at man i den traditionelle metode hele tiden skal vælge det bedste gæt, så man får et ciffer i resultatet i hver omgang.

Mellemresultaterne skrives i lodret opstilling.
588 : 4 ser således ud, udregnet med den traditionelle metode:

blogsep07-11

Udregningen går således:
5 delt med 4 er 1.
4 gange 1 er 4.
5 minus 4 er 1. 8 trækkes ned.
18 delt med 4 er 4.
4 gange 4 er 16.
1 minus 1 er 0. 8 minus 6 er 2. 8 trækkes ned.
28 delt med 4 er 7.
4 gange 7 er 28.
2 minus 2 er 0. 8 minus 8 er nul.

Man er færdig, når der intet er tilbage at dele. Nogle divisioner “går aldrig op”, dvs. man kan blive ved i det uendelige for eksempel 10:3, vil give 3,3333….

Der er mange andre måder at skrive denne metode på: “gardiner” og “rutebil” er nogle af de kælenavne som andre opstillinger har, men metoden er den samme.

Mere detaljeret er det følgende vi gør:
588 : 4 opdeles i
400 : 4 + 188 : 4 = 100 + 188 : 4
Første del af resultatet (100) er fundet.

Tilsvarende opdeles 188 : 4 i
160 : 4 + 28 : 4 = 40 + 28 : 4
Anden del af resultatet (40) er fundet

Og endelig findes tredje del af resultatet ved udregning af 28 : 4 = 7.

Resultatet i alt er 100 + 40 + 7 = 147

Fordelen ved denne metode er at den er kendt og brugt gennem tiderne.

Ulemperne er, at den – som de traditionelle metoder indenfor de andre regningsarter – kan være vanskelig at forstå. Metoden kræver også, at man i forvejen mestrer dele, gange og trække fra, ligesom det, at der er mange delelementer i metoden, gør den vanskelig at overskue og huske.

Den traditionelle – med mindre skriftlighed

Dette er den samme metode som ovenfor, men der skal skrives meget mindre og alene af den grund virker den mere overskuelig for mange børn.

588:4 ser således ud, udregnet med den traditionelle metode – med mindre skriftlighed.
blogsep07-12

Resten ved division skrives med en lille mente over det ciffer hvor man fik resten fra. Menten “læses med” ved næste division.

Udregningen går således:
5 delt med 4 er 1.
4 gange 1 er 4
5 minus 4 er 1.
18 delt med 4 er 4.
4 gange 4 er 16
18 minus 16 er 2.
28 delt med 4 er 7.
Ingen tilbage.

Fordelene ved denne metoder er at der skal skrives meget mindre end ved den traditionelle metode ovenfor. Derfor er den hurtigere – og for mange elever dermed også mere overskuelig

Ulemperne er de samme som den traditionelle metodes, og derudover skal man have en del udregninger i hovedet, hvilket kan skabe tvivl om hvad man skal skrive og hvad man skal have i hovedet.

Lidt ad gangen

Denne metode ligner den traditionelle, bortset fra at man her ikke nødvendigvis deler ud mest optimalt hver gang. Dette betyder at resultatet ikke kommer pænt ciffer for ciffer, men skal findes ved addition af mellemresultaterne til sidst. Man gætter på resultatet lidt ad gangen, ganger og trækker fra for at se hvor meget man mangler at dele ud og fortsætte på denne måde.

588:4 kan se således ud, udregnet med Lidt ad gangen metoden:
blogsep07-13

Udregningen går således:
588 delt mellem 4. De kan i hvert tilfælde få 100 hver.
Så er der brugt 400, så er der 188 tilbage.
188 delt mellem 4. De kan i hvert tilfælde få 25 hver.
Så er der brugt 100, så er der 88 tilbage.
88 delt med 4, så kan de få 22 hver.
100 plus 25 plus 22 er 147

Til subtraktionen og additionen kan anvendes forskellige metoder. Her er den traditionelle metode anvendt til subtraktionen.

Fordelen ved denne metoder er at man ikke behøver at kunne hele den lille tabel for at kunne bruge den, men kan man nøjes med at bruge de divisions/gangestykker som man kan.

Ulempen er, at man skal mestre gange, trække fra og addition.

Den helt enkle

Denne metode baserer sig på børns konkret erfaringer med at dele ud til vennerne “to til dig, to til dig, to til dig og to til mig” og så en omgang mere, hvis der stadig er slik at dele ud af, evt. nu kun med en til hver.
Metoden kaldes også “Krukkemetoden”, fordi man kan forestille sig et antal krukker som man deler ud i, og til sidst tæller man sammen hvor meget der er i hver enkelt krukke.

For de fleste børn kan det være en fordel at introducere division med denne metode. En del vil så kunne gå over til den traditionelle med tiden, men en del ved vedblive med at bruge denne metode, da den giver mening for dem og de kan huske den.

588:4 kan se således ud, udregnet med Den helt enkle metode
blogsep07-14

Under hver krukke skriver man hvor meget man deler ud til hver. I en kolonne til venstre regner man hver gang sammen hvor meget man i alt har delt ud. Så kan man tilføje en ekstra kolonne til venstre hvor man regner ud hvor meget man har tilbage, eller man kan lave denne udregning i hovedet eller på et stykke kladdepapir. Når det hele er delt ud, lægger man de uddelte portioner for hver krukke sammen og skriver det nederst.

Det er en god ide at opfordre eleverne til at dele ud i “pengebeløb”, svarende til sedler og mønter, men man må selvfølgelig også gerne tage andre “nemme” tal med, som for eksempel 25.

Til subtraktionen og additionen kan anvendes forskellige metoder.

Fordelene ved denne metoder er, at den kan bruges selvom man kun kan addition og subtraktion – man behøver ikke at kunne gange eller dele. Derudover kan man vælge at bruge de tal, som man ved at man kan regne med.

Ulempen er, at metoden er langsom, da der skal skrives meget. Efter et stykke tid, vil nogle elever opdage, at der ikke er nogen grund til at skrive alle krukkerne – og så er de faktisk i gang med at bruge gange.

Alle ovenstående metoder fungerer også med decimaltal.

Andre metoder – som elever selv opfinder

Også ved division kan elever selv finde resultatet af divisionsstykker på alternative, men korrekte, måder. At en elev kan lave en specifik division korrekt, er ikke nødvendigvis udtryk for, at eleven har en strategi for andre, tilsvarende divisioner. I langt de fleste tilfælde kan læreren hjælpe eleven med at lave lignende udregninger i andre situationer, også, eller kombinere elevens metode med en anden metode. Eleven er hermed i gang med at lære en egentlig metode, en som er naturlig for eleven selv.

Elever kan for eksempel finde på følgende regnemetoder, eller kombinationer af disse.

Halvering

Overraskende mange børn har en naturlig flair for 2-potenserne. Måske fordi de har sagt 2+2 er 4, 4+4 er 8, 8+8 er 16. Denne viden er nogle børn i stand til at overføre til division gennem at halvere. For eksempel bliver 588:4 til 294:2 (ved en udregning som for eksempel 250+44), som udregnes til 147 (ved en udregning som for eksempel 100+45+2)

Fordelen ved denne metode er, at den støtter videreudviklingen af god talforståelse og talfornemmelse hos barnet.

Ulemperne er, metoden er vanskelig at udvide til andre hele tal end 2-potenserne, og endnu vanskeligere at udvide til decimaltal. Derudover kan det være vanskeligt at holde styr på, hvor mange gange man har delt i alt.

Gæt og prøv efter

Der er også en del børn der udregner divisionsstykker ved at gætte og prøve efter og fortsætte på denne måde så de kommer tættere på og endelig finder resultatet – eller kommer så tæt på som de ønsker. Til det første gæt bruger nogle børn overslagsregning, andre ser på tallene og genkender nogle kendte gangestykker, men der også er børn der ser ud til at gætte vildt ud i luften og alligevel kommer tæt på.

Hvis udregningen er 588:4 gættes for eksempel på 150. Man prøver efter: 4*150=600, det var tæt på, men lidt for stort. Så gætter man på 145 og prøver: 4*145=400+160+20=580. Tæt på, men for småt. Et nyt gæt, denne gang på 147. Man prøver efter: 4*147=400+160+28=588 – og det passer.

Det første gæt kunne også have været 122, fordi tallene 88:4 signalere noget med at ende på 22.

Måling

Hvis divisionsstykket er givet i et tekststykke, der er formuleret som en måling, er der børn der vælger at lave udregningen via måling. Strategien er at tælle hvor mange gange divisoren kan være i dividenden. Typisk kan man tælle i større portioner end en ad gangen og dermed gøre regnskabet mere overskueligt.

Et eksempel: “Hvor mange æsker med bolde bliver der, når man har 588 bolde og der skal 4 bolde i hver æske?”
blogsep07-15