Pentagon, pentagram og det gyldne snit

Pentagon er verdens største kontorbygning. En kæmpebygning, som er arbejdsplads for ca. 25.000 ansatte i det amerikanske forsvarsministerium. Pentagon er opkaldt efter bygningens facon – en femkant.

En femkant med lige store vinkler og lige lange kanter kaldes regulær. For ca. 2300 år siden beskrev Euklid hvordan man på en lidt indviklet måde kan konstruere en pengaton med passer og lineal. Men der er nu også en nemmere vej: Folder man en knude af en strimmel papir, får man en regulær femkant.
penta-knude-sort
I modsætning til ligesidede trekanter, kvadrater og regulære sekskanter kan regulære femkanter ikke sættes sammen, så de kan dække et fladt område. Prøver man at sætte regulære femkanter sammen får man hvad der bliver kaldt ‘penta-fnugget’, hvor der bliver små gab mellem femkanterne.

penta-trekantnet  penta-kvadratnet  penta-pentafnug  penta-sekskantnet
Den matematiske forklaring på dette er, at vinklerne for hhv. den ligesidede trekant, kvadratet og den regulære sekskant alle går op i 360 grader. Det gør derimod den regulære femkants 108 grader ikke!

Pentagrammet – den femtakkede stjerne

Holder man knuden op mod lyset kan man se at kanterne af strimlen næsten danner en femtakket stjerne – der mangler kun den øverste diagonal i femkanten.
penta-knude-med-stjerne
Den regulære femtakkede stjerne kaldes et pentagram. Pentagrammet har været meget meget brugt som symbol i tidens løb. Mest kendt nok som beskyttelse mod onde ånder, men i det gamle Grækenland var pentagrammet et hemmeligt symbol, som matematikere brugte, når de ønskede hinanden lykke.

Det gyldne snit
penta-1-gyldne-snit
Pentagrammet indeholder det gyldne snit flere steder, blandt andet her, hvor det grønne punkt deler det røde linjestykke i det gyldne forhold.

For at vise dette skal man igennem en del overvejelser – som dog alle bidrager med en øget forståelse af den regulære femkant og pentagrammet.

Først er det en god ide at få styr på alle vinkler.
penta-vinkel1

Dernæst kan man bruge sætningen om at en periferivinkel er halvt så stor som en centervinkel til at få:
penta-vinkel2

De sidste vinkler findes ved mere regneri.
penta-vinkel3
penta-vinkel4
Ved at betragte vinklerne ses, at nedenstående trekant er ligebenet, de to lige lange sider kaldes k:
penta-vinkel5

Ved nu at se på et par ligedannede trekanter får man det ønskede gyldne snit:
penta-vinkel6

Det gyldne snit kaldes Phi, det græske bogstav φ.

Ved at løse ovenstående ligningssystem, der involverer en andengradsligning, finder man at phi=1,618…

Opgave 1
Hvor mange stjerner kan du tegne i hver tak på en stjerne, hvis du følger princippet på tegningen:
penta-vinkel8

Opgave 2
Overvej om regulære syvkanter eller regulære ottekanter kan sættes sammen til at dække et fladt område.

Opgave 3
Overbevis dig selv om, at nedenstående deling af et linjestykke deler linjestykket i det gyldne snit.
penta-vinkel9

I læs-selv hæftet “Tegn stjerner” fortæller vi mere om forskellige måder, man kan tegne stjerner.