Vores søn efterspurgte en dag hjælp til en matematikopgave, hvor han skulle beregne omkredsen af en cirkel. Det vidste han ikke, hvad var, men med fælles hjælp fandt vi et sted i lærebogen, hvor der stod: ”Vi kalder den længde, der er hele vejen rundt om en cirkel, for omkredsen”. ”Det kalder jeg den ikke”, var hans svar, så det kunne han ikke rigtig bruge til noget.

Hvordan man definerer omkredsen af en cirkel er ikke noget, vores søn skal bestemme, og han havde slet ikke anerkendt, at den skindemokratiske sætning ”vi kalder…” i virkeligheden er en benhård definition, altså en fastlæggelse af den præcise mening af et begreb.

Fælles mål og lærebøgerne

Vi har nu lyst til at undskylde vores søn lidt, for i lærebøgerne er det svært at finde definitioner og i endnu højere grad sætninger og beviser. Fælles Mål er ellers klare i spyttet herom:

I lærebøgerne beskrives definitioner meget ofte implicit gennem eksempler eller de sammenhænge, de sættes ind i. Definitioner og sætninger er simpelthen ikke et fokus for lærebøgerne. Årsagen er formodentlig et ønske om at gøre matematikken mere hverdagsagtig og tilgængelig, og det er jo et ædelt formål. Men man kan diskutere, om det faktisk virker, og må under alle omstændigheder konstatere, at det nedtoner nogle af de Fælles Mål.

Vi kan godt lide, at Fælles Mål stiller mål om, at eleverne skal lære om matematikkens formelle sprog. Man skal ikke kun lære det formelle sprog som et dannelsesaspekt af matematikken. Matematik handler blandt andet om at kunne ende med at lave komplekse beregninger. Så længe tallene er små og regneoperationerne simple, kan udregninger håndteres helt uformelt, men jo mere indviklede beregningerne bliver, desto nødvendigere bliver formaliseringerne. Jo længere man kommer i uddannelsessystemet, desto mere stringent og formelt præsenteres matematikken derfor også i lærebøgerne, og jo vigtigere bliver det, at eleverne kan skelne mellem den skriftlige matematiks forskellige genrer.

”Hvorfor?”

”Hvorfor” er en nyttig tanke i megen læring, men netop når man taler om matematiske definitioner, giver det ingen mening. ”Hvorfor hedder det areal?” Det gør det bare. ”Hvorfor hedder det cirkel?” Det gør det bare. ”Hvorfor er kvadratroden det positive tal, der ganget med sig selv giver tallet?” Det er det bare, det har vi bestemt, så kvadratroden af et tal ikke giver to resultater. Der kan naturligvis godt være sproglige forklaringer, som måske kan hjælpe nogle elever: En diagonal hedder sådan, fordi dia betyder gennem, og gonal betyder kant eller vinkel. Men generelt giver ”hvorfor”-spørgsmålene ikke mening, når vi har med definitioner at gøre.

Matematikere kan rigtig godt lide at være præcise. At noget er præcist, er desværre slet ikke det samme som, at det er letforståeligt, så når man støder på en definition, skal man søge grænserne for betydningen. ”Er et kvadrat også et rektangel?”, ”Må en diagonal ligge udenfor figuren?”, …

Nye begreber

I vores bog ”Åben og undersøgende matematik” har vi et bud på, hvordan man kan undervise i de stringente, matematiske begreber som definitioner og sætninger uden at skræmme eleverne fra vid og sans. Vi foreslår at arbejde med fantasifulde nye matematiske begreber, for eksempel parallelohexagram (sammensætning af parallelogram og hexagon), pseudolige tal, superlige tal, skævprisme og keglekugle.

Arbejdet med at opfinde nye begreber er en slags genrepædagogik i matematik. Genrer er grupperinger af omtrentligt ensartede udtryksformer. I videnskabsfaget matematik arbejder man med definition, sætning, bevis og eksempel. I grundskolefaget matematik kan man sige, at der er følgende genrer: Definition, eksempel, uddybende tekst, opgaver samt regler, formler, metoder (grundskoleversionen af videnskabsfagets sætninger) og forklaringer af disse (grundskoleversionen af videnskabsfagets beviser).

I klassen indledes arbejdet med en fælles debat om de ord, som det nye begreb er opbygget af. Eleverne skal herefter i grupper starte med at lave en definition af begrebet, som det kunne stå i en matematikbog. Efterhånden som eleverne arbejder sig igennem de andre dele af opgaven, vil de ofte vende tilbage og finpudse definitionen.

Herefter skal eleverne nu lave et konkret eksempel, hvor det nye begreb anvendes. Eleverne skriver en uddybende tekst, hvori det nye ord indgår, for eksempel en ganske kort novelle, et eventyr eller en nyhedsreportage. Næste skridt er, at eleverne formulerer opgaver med brug af det nye begreb. Endelig skal eleverne opfinde regler om begrebet og argumentere for deres gyldighed.

Den øgede bevidsthed om de forskellige genrer i en matematisk lærebog vil øge elevernes udbytte af lærebogen, da de kan møde de forskellige elementer med forskellige forventninger. En definition skal man ikke stille spørgsmålstegn ved. Eksempler skal læses som konkretiseringer af definitioner og regler. Definitioner og regler er generelle og abstrakte, eksempler er konkrete. Eksempler er noget, man læser, for bedre at forstå definitionerne og bedre at kunne løse opgaverne. Den uddybende tekst bringer begrebet helt ud i virkeligheden. Det kan være anvendelser af begrebet i virkeligheden, det kan være en historisk tekst om begrebet, eller det kan være en lille fortælling, hvori begrebet indgår, og det er også en slags virkelighed, selvom historien er science fiction eller et eventyr med talende polygoner. Opgaver skal læses med bevidstheden om, at nu skal man til at bruge sin viden om begrebet. Opgaverne giver tit anledning til at vende tilbage til definition og eksempler. Regler er sammenhænge mellem matematiske begreber. Regler kan forklares og bevises, og her er det helt på sin plads at spørge ”Hvorfor?”