Brøk divideret med brøk – en alternativ tilgang

“Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte” er et af de mantraer mange af os lidt ældre kan huske helt tilbage fra vores egen skoletid. Vi forstod ikke nødvendigvis hvad det betød – men det gav os muligheden for faktisk at kunne dividere med en brøk.

I dag lærer vi ikke matematik for at kunne efterligne en lommeregner. Vi lærer matematik for at få begreberne ind under huden og forstå dem. Så moderne undervisning i division tager udgangspunkt i, at der er to modeller for division: ligedeling og måling.

Ligedeling er, hvor man tænker på 8:4 som hvor mange kan man få hver, hvis der er 8 boller der skal deles ligeligt mellem 4 personer. Måling er hvor man tænker på 8:4 som at man har 8 boller, skal pakkes i poser med 4 boller i hver. Hvor mange poser bliver der?

De fleste tænker på division af brøk med brøk som en målingssituation. Gjert-Anders Askevold har udviklet en metode, hvor man kan tænke division af brøk med brøk som en ligedelingssituation. I denne artikel vil jeg forklare denne metode. Målet hermed er primært at flere elever hermed kan få en dybere forståelse for både brøker og division. Jo større arsenal af metoder man behersker som lærer, desto flere elever kan man ramme.

Det afgørende for at få ligedelingstankegangen til at virke for brøker er, at man ikke skal fokusere på hvor meget man får hver, men hvor meget én får. For brøker bliver det centrale hvor meget en hel får.

Et eksempel 3/5:3/10

Tre femtedele divideret med tre tiendedele. Så tre femtedele skal deles ligeligt mellem tre tiendedele.
broek1
Det er jo nemt at se at hver af de tre tiendedele kan få en femtedel hver. Altså en tiendedel får en femtedel.
broek2
Nu er det så at det centrale spørgsmål rejser sig: Hvor meget får en hel, når en tiendedel får en femtedel.
broek3
Når en tiendedel får 1 femtedel, så får en hel 10 femtedele.

3/5:3/10=10/5
broek4
Og de ti femtedele kan man så samle til to hele.

3/5:3/10=10/5=2

Et andet eksempel 3/4:2/7

Tre fjerdedele divideret med to syvendedele. Tre fjerdedele skal deles ligeligt mellem med to syvendedele.
broek5
Det kan man ikke umiddelbart, så man må klippe fjerdedelene over i to hver, for at man kan dele dem ligeligt mellem de to syvendedele. Når fjerdedelene klippes over i to lige store dele, er de enkelte stykker nu ottendedele. Man kan sige man veksler hver fjerdedel med to ottendedele. Nu er det nemt at se at hver af de to syvendedele kan få tre ottendedele hver. Altså en syvendedel får tre ottendedele.

broek6
Hvor meget får en hel, når en syvendedel får tre ottendedele?
broek7
Når en syvendedel får 3 ottendedele, så får en hel 21 ottendedele. 3/4:2/7=21/8
broek8
Og de 21 ottendedele kan man så samle til to hele og fem ottendedele.
3/4:2/7=21/8=2 5/8

Gjert-Anders’ metode kæder ligedelingstankegangen fra heltalsdivision sammen med brøk divideret med brøk, og giver således en yderligere repræsentation af brøk divideret med brøk, ud over målingsrepræsentation. Desuden, og endnu vigtigere, giver det et mere nuanceret billede af division, hvor spørgsmålet ved ligedeling måske mere er hvad får en, end hvad får de hver.

For mig er det vigtigste omkring brøk divideret med brøk stadig at man lærer at få en fornemmelse af hvad resultatet er, fx om resultatet er større eller mindre end en. Det er vigtigere end at man lærer en algoritme eller en formel for at udføre divisionen. Og i mit hoved er det stadig målingstankegangen der giver mig det hurtigste billede af resultatet. Men det er jo bare mit hoved. Der er mange andre hoveder derude.