Forsvar for de 4 regningsarter

Emnet i denne artikel behandles også i min bog, Matematik for alle – Håndbog i matematikundervisning. Bogen kan købes i min online-butik

Når jeg er ude at holde foredrag om børn med matematikvanskeligheder, er jeg som regel gode venner med mine tilhørere, indtil vi kommer til det med regnemetoderne/regnemetoderne for de fire regningsarter. Her får jeg mange uvenner, og jeg tror derfor, at det er det rigtige sted at starte denne artikel. Bare at sige det alle er enige om rykker jo ikke rigtigt for nogen parter.

Jeg vil gerne starte med at udtrykke min holdning meget kort og kontant:

  • Jeg synes, det er en menneskeret (her i Danmark) at kunne håndtere problemer indenfor de fire regningsarter.
  • Lommeregneren alene kan ikke håndtere disse problemer.
  • Alle har brug for og krav på at lære en eller anden form for beregningsmetoder, der baserer sig på hovedregning, fingertælling, skriftlige notater og lignende.
  • For nogle elever er det i bedste fald spild af tid at forsøge at lære de klassiske regnemetoder for de fire regningsarter for andre elever er det simpelthen misbrug af deres tid at forsøge at lære dem de klassiske regnemetoder for de fire regningsarter. Den tid skulle simpelthen bruges på noget, de havde mere behov for! Og der findes alternative metoder.

Hvad er en god regnemetode?

En god regnemetode er en man kan huske, også når man ikke sidder i matematiktimen, – og når man ikke helt kan huske den, kan man selv stykke den sammen igen.

Hvad kan man overhovedet karakterisere som en beregningsmetode?

  • En beregningsmetode skal være mekaniseret i en grad så eleven selv føler at hun har en metode. Hun må altså ikke føle, at hun starter fra bar bund hver gang.
  • Eleven skal evt. i samarbejde med læreren kunne beskrive sin metode i rimelig generelle vendinger. I denne sætning ligger altså to krav 1) metoden skal kunne beskrives i rimelige generelle vendinger og 2) eleven skal evt. med hjælp fra andre kunne beskrive metoden.

Jeg stiller altså ikke stramme matematiske/datalogiske krav til elevens beregningsmetoder. Mine kriterier giver mulighed for at anerkende elevernes regnemetoder, selvom de ikke er programmerbare, selvom de til en vis grad afhænger af situationen, og selvom de har et element af tilfældighed.

Nogle elever har brug for at andre hjælper dem med at finde en god regnemetode, og hjælper dem med at holde fast i den. Det er vigtigt, at læreren ikke bare automatisk vælger standardregnemetoden, men foreslår en regnemetode, der ligger tæt ved den tankegang eleven i forvejen har. Snorre Osted sagde følgende til en konference, jeg var til i Norge i efteråret 2001: Rigide regnemetoder stiller sig i vejen for udviklingen af funktionelle regnebegreber. Med andre ord: en ensidig fokusering på at lære eleverne at udføre stive mekaniske regnemetoder kan virke hindrende for, at de faktisk lærer at regne!

Jeg synes, det er ufattelig vigtigt at anerkende følgende: de bedste beregningsmetoder er opfundet, det er nemlig dem, vi lærte, da vi gik i skole. De er de bedste i datalogisk forstand, det vil bl.a. sige, at de kan programmeres og har den teoretisk set korteste udførelstid. Men derfor er de ikke nødvendigvis de beregningsmetoder, der er nemmest at forstå eller huske, eller bruge specielt ikke for alle mennesker!

Spild af tid!

Det afgørende for mig er, at eleverne udvikler regnebegreber (addition, subtraktion, multiplikation og division), der giver dem handlekompetence i deres liv udenfor skolen.

Regnebegreber er ikke noget man enten har eller ikke har, men noget der gradvist udvikles. Det interessante er altså at finde ud af, hvordan fx elevens multiplikationsbegreb ser ud, og ikke udelukkende om barnet har eller ikke har et multiplikationsbegreb.

I indledningen siger jeg at en ensidig fokusering på at eleverne skal lære de klassiske beregningsmetoder er spild af tid eller ligefrem det, der er værre. Dette vil jeg gerne uddybe her.

Det er mit indtryk at mange, både børn og voksne, ikke bruger de regnemetoder, de lærte i skolen, så snart de træder ud af matematiktimen. Det er uheldigt af tre grunde:

  • Det er simpelthen spild af elevens tid og energi. Eleven har brugt tid og energi på at udvikle sin egen regnemetode sideløbende med, at de har fået en regnemetode påduttet i matematikundervisningen, en regnemetode som de aldrig forstod eller tog til sig. Jeg mener tid og energi kunne være udnyttet mere effektiv, hvis elev og lærer sammen havde arbejdet med at udvikle og forfine en regnemetode, som eleven forstod, tog til sig og havde tillid til. De regnemetoder, som eleverne selv finder frem til i det skjulte kunne ofte forbedres på den ene eller den anden måde, hvis regnemetoderne kom frem i lyset og blev diskuteret med andre.
  • Mange af de mennesker der aldrig bruger de regnemetoder de lærte, men bruger deres egne hjemmelavede metoder har dårlig samvittighed over at gøre det, de føler skyld, og de føler sig dumme over ikke at bruge de ‘rigtige’ regnemetoder. Det kan matematikundervisningen simpelthen ikke være bekendt!
  • Der er så også nogle mennesker, der aldrig udvikler egne alternative metoder, men kun har de regnemetoder de lærte i skolen, som de bare ikke kan bruge. Disse mennesker er ilde stedt i vores samfund.

Forskellig stil

Flere steder er der beskrevet to vidt forskellige læringsstil i matematik. Der er målerlarve stilen og græshoppe stilen. Målerlarve stilen er den lineære, trinvise stil. Processen deles op i mange små delprocesser, som udføres en efter en i en på forhånd bestemt rækkeefølge. Der er fokus på detaljen i målerlarve stilen. Græshoppe stilen er den mere holistiske stil. Helheden holdes konstant for øje. Processen søges udført i et hop. Resultatet er dog ofte, at processen deles op i flere hop. De enkelte hop ligger ikke nødvendigvis i lineær forlængelse af hinanden, men oftere i et zig-zag mønster.

Målerlarve og græshoppe stilen er hver sin ende af en proces kontinuum. De fleste mennesker er noget midt imellem eller måske mere præcist er de fleste mennesker både og, dvs. i nogle situationer er de mest græshopper og i nogle tilfælde er de mest målerlarve, alt afhængig af, hvad der er mest hensigtsmæssigt i den givne situation. Elever med matematikvanskeligheder har typiske ikke denne fleksibilitet til at skifte mellem forskellige processtrategier. Det er derfor af stor betydning for disse elever, at de finder en regnemetode, der passer til deres læringsstil, og som de har tillid til virker i alle situationer.

I gamle dage skelnede man mellem hovedregningsmetoder og skriftlige metoder. Hovedregningsmetoderne var typisk mere græshoppeagtige end de skriftlige metoder. Hovedregningsmetoderne var gode til overslagsregning, der netop er græshoppeagtigt ved at fokusere på helheden, og det gode ‘hop’ tæt på det præcise resultat. Hovedregningsmetoderne er også græshoppeagtige ved at udnytte, hvordan tallene passer sammen, og på denne måde er de ikke lineære. De skriftlige metoder var det, vi ofte refererer til som standardregnemetoderne. De skriftlige metoder skulle være effektive, præcise og pålidelige i ethvert tilfælde.

I dag kan vi i undervisningen tillade os at blande de to metoder i høj grad. Det er i dag ikke så afgørende, at folk kan udføre hurtige og præcise beregninger, da vi har elektroniske hjælpemidler ved hånden. Med andre ord, vi behøver ikke at lære børnene at være regnemaskiner. Det vigtige er, at eleverne har en forståelse af talstørrelserne og regningsarterne, og at de kan udføre de beregninger, og at de ved, at de kan, og at de ved, hvordan de vil gøre det.

Vi kan altså i dag tillade, at noget i stil med det man tidligere kaldte hovedregningsmetoder, legitimeres til at være de eneste regnemetoder, som nogle børn lærer.

Bogholderi

I den vejledende læseplan for begyndertrinnet står der “Hovedregning, lommeregner og skriftlige notater indgår i et samspil i arbejdet med tallene”. I arbejdet med børns udvikling af egne regnemetoder spiller arbejdet med de skriftlige notater en stor rolle. Den støtte gode skriftlige notater kan give, kan være afgørende for om en elev kommer igennem en udregning eller ej. De skriftlige notater udgør et bogholderi, bogholderiet skal være en måde at fastholde elevens tankegange, så de ikke behøver at have det hele i hovedet. Det er forskelligt, hvor meget den enkelte har brug for af bogholderi, og også forskelligt hvilken type bogholderi, den enkelte elev har brug for.

I en specialklasse for 12 årige børn med specifikke indlæringsvanskeligheder, var der to af drengene som begge havde motoriske problemer, der bl.a. gav sig udtryk ved, at de havde meget svært ved at skrive, så nogen kunne læse det, og de havde også begge to nogle matematikvanskeligheder. For den ene af drengene var hans motoriske problemer en medvirkende årsag til disse vanskeligheder. Denne dreng havde brug for den støtte et bogholderi kunne give ham, han havde svært ved at fastholde sine mellemregninger, og samtidig havde han brug for mange mellemregninger. Med læreren som skriverkarl kunne drengen løse mange af de stillede opgaver. Den anden dreng løste tilsyneladende heller ikke sine opgaver, før læreren kom og var skriverkarl, men denne dreng havde altid svarene klar, regnearbejdet var gjort. Denne dreng brugte fingre og lineal (brugt som tallinie) til at fastholde sine mellemregninger. Drengen havde dog ofte problemer med, hvad der skulle skrives, da læreren ikke kun ønskede et svar, men også en udregning. Skriveriet var ikke en nødvendig støtte for drengens regnearbejde, her var skriveriet det sprog, hvormed læreren ønskede udregningen kommunikeret. Denne dreng syntes, det var lærerens problem og ikke hans, at der skulle en udregning med.

Som drengen ovenfor ser en del elever det ikke som deres problem, at læreren ikke kan se deres mellemregninger, og jeg giver til dels eleverne ret. Hvis eleven regner rigtigt og kan gøre rede for sin metode, så er det nok. Hvis eleven har problemer og regner forkert må læreren under alle omstændigheder snakke med eleven for at lærer og elev i fællesskab kan få styr på elevens tankegang og elevens misforståelser.

I den traditionelle undervisning af standardregnemetoderne har bogholderiet næsten været lig med regnemetoden, for rigtig mange elever og lærere (og forældre!).

Det vigtige er altså at hjælpe eleven med at få et bogholderi, der støtter elevens beregningsmetode.

Eksempler på andre metoder

Jeg vil gerne nævne et eksempel på en alternativ regnemetode for hver af de fire regningsarter. Alternative metoder som jeg alle har se brugt, af elever karakteriseret som matematiksvage. De nævnte regnemetoder har alle store lighedstræk med hovedregningsmetoder.

Addition:
“Læg sammen fra de store” kalder jeg den. For mange børn er det mere naturligt at lægge hundrederne sammen først, så tierne og så enerne. Også selv om man risikerer at skulle gentage processen et par gange.

Subtraktion:
“Kassedamemetoden” eller “fylde op metoden”. Eleven fylder op fra det mindste tal mod det største tal. Eleven fylder op i portioner, som eleven kan overskue, og lægger så disse tal sammen efterfølgende.

Multiplikation:
“Gange de store først”. Som ved addition er der mange børn der finder det mere naturligt at starte med at gange de største tal sammen. Som en elev sagde til mig, da jeg forsøgte at vise ham “min metode”: Hold da op, når du har ganget en gang, så er du kun kommet til 3, når jeg har ganget første gang, så er jeg kommet til 6000! Selvfølgelig er det her utrolig vigtigt, at eleverne erfarer, at alle “tallene skal ganges”, men det er jo ikke anderledes end ved den traditionelle metode.

Division:
“Dele ud i selvvalgte portioner”. Man deler ud i de portioner, man kan overskue, og holder rede på, hvor meget man har brugt. Og til sidst lægges sammen.

En arbejdsmetode

Jeg har udviklet en arbejdsmetode til at arbejde med udvikling af regnemetoder i undervisningen. Jeg har kaldt metoden for regnemetodecirklen. Arbejdsmetoden er udviklet på baggrund af observationer og samtaler med lærere om deres praksis. Metoden er således en beskrivelse af “den bedste praksis”.
regnecirkelmetoden
Regnemetodecirklen består af tre forskellige aktiviteter, der gentages cyklisk. De tre aktiviteter er:

  • Arbejdet med et konkret problem.
    Eleverne arbejder med et fælles konkret problem. Målet er at løse problemet. Alle metoder er tilladte.
  • Formulering af metode.
    I denne fase skal eleverne formulere, hvordan de løser det konkrete problem. Det er afgørende, at formuleringen kan gøres “fysisk”, da de forskellige formuleringer da nemmere kan gøres til genstand for en fælles debat. Den “fysiske” formulering kan være f.eks. ved tegning, symboler, udregninger, formulering optaget på bånd eller videobånd
  • Fælles vurdering/Det frie marked.
    I denne aktivitet betragtes klassens regnemetoder. Det er nu, at eleverne så at sige “ser” på regnemetoderne og ikke på det konkrete problem. I denne fase diskuteres alle metoder fælles i klassen. Er metoderne rigtige, specielle, generelle, hurtige, besværlige eller hvad? I denne fase kan også læreren præsentere sine regnemetoder. Det er endelig også i denne fase, at eleverne kan vælge at “købe” en ny regnemetode i stedet for den, de selv havde fundet på, hvis de finder en regnemetode, der passer dem bedre.

En ny omgang i regnemetodecirklen kan starte med at afprøve regnemetoder på konkrete problemer, en (re)formulering af regnemetoder og en ny vurdering af regnemetoder.

Regnehændelser / helhed

Hvad er det så for nogle konkrete problemer, man skal tage fat på i regnemetodecirklen. Det er utrolig vigtigt at arbejde med problemstillinger indenfor de fire regningsarter og ikke kun taltræningsopgaver. Det er ikke indlysende hvilke regneoperationer, der knytter sig til hvilke problemstillinger. Og i stedet for at blive sur over de evindelige dumme spørgsmål, “skal jeg gange eller dividere” skal man tage problemet seriøst og arbejde med det i undervisningen. Følgende to formuleringer af 340 : 4 har jeg bedt en række lærere stille deres elever, og noteret svarene og kommentarerne:

  • 340 gulerødder skal deles ud til fire heste, så hestene får lige mange hver. Hvor mange gulerødder får hver hest?
  • 340 tennisbolde skal puttes i kasser med fire bolde i hver. Hvor mange kasser skal der bruges?

De fleste elever kan meget bedre håndtere 1. formulering end 2. formulering. Som en elev havde kommenteret om 2. formulering: “Der mangler ligesom det, man skal dele med!”

Gudrun Malmer har systematiseret disse mange forskellige problemstillinger, så man kan prøve at blive bevidst om at komme rundt om dem alle.