Evaluering af begrebsforståelse

Evaluering er meget mere end blot at se hvor mange opgaver eleverne løser korrekt.

I min kursusvirksomhed har jeg i flere år gennemgået en metode til evaluering af elevers forståelse af de fire regningsarter. Mange lærere efterlyser konkrete, skriftlige eksempler på hvordan man kan tolke elevernes problemer, og hvordan man som lærer kan hjælpe eleverne videre. Dette nyhedsbrev giver nogle sådanne eksempler. Jeg gennemgår multiplikation grundigt, og skitserer tilsvarende tolkninger for de øvrige tre regningsarters vedkommende.

Michael Wahl Andersen beskrev i bladet “Matematik” helt tilbage i juni 1996 en metode, der giver læreren mulighed for at komme “bag om” løsningen til forståelsen af en opgave. Metoden bygger på den teori, at flere repræsentationer af samme begreb giver det bedste billede af en elevs begrebsforståelse. De forskellige repræsentationer der kommer i brug i denne evaluering er:

  • det mundtlige fagsprog
  • det skriftlige symbolsprog
  • tegning
  • det skriftlige hverdagssprog

Metode

Man læser et regnestykke højt for klassen.

Eleverne skal nu gøre følgende:

  • skrive regnestykket ned
  • løse opgaven og skrive svaret ned
  • lave en tegning, der passer til regnestykket eller
  • skrive en regnehistorier, der passer til regnestykket

Man tager en samtale med de elever, hvor man observerer et af følgende på deres besvarelse:

  • de har ikke skrevet det korrekte regnestykke ned
  • de har den forkerte løsning til regnestykket
  • de har lavet en tegning/regnehistorie, som du ikke kan forbinde med regnestykket

Forklar metoden for eleverne før du går i gang. Evt. med disse eksempler.

Eksempel

Regnestykket “tolv minus tre” læses højt.

En elevbesvarelse:
elevbesvarelse1_12minus3
En anden elevbesvarelse:

elevbesvarelse2_12minus3
En regnehistorie er altså en lille tekstopgave, hvor det givne regnestykke giver løsningen på opgaven.

Tolkning

Tolkning af elevernes besvarelser kræver både erfaring, faglig fantasi og kendskab til de enkelte børn.

I det følgende vil jeg give forslag til nogle mulige tolkninger. Tolkningerne er baseret på mine egne og mine kursisters konkrete oplevelser, kombineret med teorier om emnet.

Regnestykket “fire gange syv”

Som lærer skal du starte med følgende tre observationer:

  • Får eleven skrevet det rigtige regnestykke ned?
  • Regner eleven rigtigt?
  • Tegner/skriver eleven noget der giver dig mening i forhold til det aktuelle gangestykke?

Eleven skriver ikke det rigtige regnestykke ned

Muligt problemMulig handling
Eleven har problemer med at oversætte fra de mundtlige talord til de skriftlige talsymbolerEleven opfordres til at læse tal højt i sin hverdag derhjemme og læse tal højt (ganske stille selvfølgeligt) når han sidder og regner i klassen.Eleven opfordres også til at skrive tal i sin hverdag fx tage imod besked om et telefonnummer, antal varer på en indkøbsseddel mm.
Eleven har ikke brugt et gangetegn. Muligvis er eleven blevet i tvivl om hvordan symbolet for gange ser ud. Er det en prik, et kryds eller en stjerne? Er der overhovedet forskel på de 3 symboler?Tag en snak med eleven om, at der er forskellige symboler for gange: prik, når vi skriver i hånden og i matematikbøger, kryds bruges på mange lommeregnere og stjerne bruges ofte på computer.
Eleven kan have svært ved at koncentrere sig, og svært ved opfatte en fælles mundtlig besked.Det skal der sættes ind overfor sammen med andre af klassens lærere.
Eleven kan have et høreproblem.Vær opmærksom på dette i andre sammenhænge

Eleven regner ikke rigtigt

Muligt problemMulig handling
Eleven ved hvad gange handler om, og kan nogenlunde tabellerne, men prøver at huske tabellen og kan ikke huske i det konkrete tilfælde. Dette er en mulig forklaring på både et forkert svar og et manglende svar.Snak med eleven om strategier for at “komme frem til” de dele af tabellerne, som man ikke rigtig kan huske, i stedet for at undlade at svare eller bare gætte. Den mest effektive strategi er at bruge en tabelværdi i nærheden, som eleven kan huske. Fx kan eleven ikke huske 4·7, men kan huske 5·7, fordi det er nemt at gange med 5. Så må eleven lære at regne fra 5·7=35 og trække den ene gange 7 fra igen 35-7=28.
Eleven ved hvad gange handler om, men kan ikke tabellerne som “fire gange syv er otte og tyve”, men kun som tabelremser (fx 4, 8, 12, 16, … 40). Eleven har som strategi at tælle sig frem i tabelremsen, og det er så gået galt.Det er godt at kunne tabelremserne, men det er kun en repræsentation for tabellerne. Eleven bliver en mere robust regner, hvis også eleven kan tabellerne (eller dele af dem, jf. ovenfor) som “fire gange syv er otte og tyve”.
Eleven ved ikke rigtig ved hvad gange handler om, eleven har ikke noget indre billede af begrebet gange. Gange er bare et nyt symbol mellem to tal, ligesom plus er et symbol mellem to tal, nu giver det bare noget andet “som jeg bare ikke lige kan huske hvad er”.
Se yderligere forklaring nedenfor
Dette problem kan yderligere bekræftes ved at eleven tegner/skriver noget der ikke giver mening i forhold til regnestykket.
Eleverne skal arbejde med begrebet gange.
Se nedenfor

 Eleven tegner/skriver noget der ikke giver mening i forhold til regnestykket

Det kan være, at eleven ikke har forstået hvad du mener med “tegning der passer til” eller “regnehistorie”. Giv da flere eksempler på tegninger/regnehistorier.

Tegningen/regnehistorien ser egentlig ud til at handle om gange, men med andre tal, fx 2·7=14. Sandsynligvis har eleven bare glemt de aktuelle tal, eller ikke blevet helt færdig, men eleven ved faktisk godt hvad gange handler om og har en strategi for at finde resultatet af et gangestykke. Der er ingen grund til en særlig indsats overfor denne elev.

Det typiske er dog, at hvis eleven tegner/skriver noget der ikke giver mening i forhold til regnestykket, er det fordi eleven ikke har et indre billede af begrebet gange. Og det skal der arbejdes med.

Iagttag hvilke af nedenstående tegninger/regnehistorier eleven har lavet.

Tegning/regnehistorieMulig handling
Tegning/regnehistorie hvor de anvendte tal indgår i en slags addition, fx “4 røde biler og 7 grønne biler på en parkeringsplads”.

Disse børn har en magisk symbolmodel for gange. Gange er, ligesom plus, et symbol mellem to tal, nu giver det bare noget andet, og dette andet er lige så uforudsigeligt som magi. Børnene oplever, at der er ingen andre måder at finde resultatet end at kunne huske tabellen. Det virkelige problem for disse børn er, at de ikke forstår begrebet gange, og dermed ikke ved hvornår de skal anvende gange.

Eleven skal høre, se og opleve situationer hvor gange kan anvendes som en smart måde at tælle ting der er organiseret i en firkant. Fx er 4·6 antallet af sodavand i en kasse, 2·6 antallet af æg i en æggebakke osv. De skal også opleve gange som gentaget addition: Mie, Line og Rasmus har 25 kr. hver. Hvor mange penge har de tilsammen: 25 kr.+ 25 kr.+ 25 kr. = 3·25 kr.

I første omgang er de konkrete oplevelser det centrale. Senere er det vigtigt at arbejde mere abstrakt med begrebet gange gennem arbejdet med regnehistorier og billeder.

Tegning/regnehistorie hvor de anvendte tal indgår som en divisionshistorie, eller en “opdelingshistorie”.

4·7 kan blive til noget med 4 slikkepinde til Magnus og 7 slikkepinde til Mette.

Hvis tallene går op i hinanden som fx 4·8, så kan en divisionshistorie også blive “Fire børn skal dele otte slikkepinde”.

Disse børn ved at gange og division har noget med hinanden at gøre, men har et ret diffust billede af begge dele.

Se ovenfor.

Derudover skal man være opmærksom på at disse elever skal arbejde med de forskellige symboler for de fire regningsarter både som de ser ud i matematikbøger, på lommeregnere og i hånden.

Tegning/regnehistorie hvor ingen af de anvendte tal indgår og der er heller ikke antydning af gange i tegningen/regnehistorien.

Eleverne har slet intet billede af gange.

Se ovenfor

Eleven tegner/skriver noget, der giver mening i forhold til regnestykket

Når eleven har tegnet/skrevet noget der giver meningen i forhold til gange er det som regel en af nedenstående tre modeller, de har arbejdet indenfor. Det kan være en god ide at observere hvilken af de tre modeller, eleven har brugt, for at kunne hjælpe eleven bedst muligt fremover.

ModelMulig handling
Tegningen/historien er nærmest lavet om til en divisionshistorie.

De anvendte tal indgår, resultatet indgår og der er regnet rigtigt.

Eleven har sandsynligvis god talfornemmelse og kan jonglere frem og tilbage mellem gange og division, men eleven skal øges sin bevidsthed omkring hvad der er spørgsmålet og hvad der er svaret i sine egne og andres tekstopgaver.
Tegningen/regnehistorien er en gentaget-addition. Fx Mie, Line og Rasmus har 25 kr. hver. Hvor mange penge har de tilsammen: 25 kr.+ 25 kr.+ 25 kr. =3·25 kr.

Gentaget addition er et udtryk for at gange opfattes som addition, bare af flere tal.

Gentaget-addition er udtryk for en sproglig tankegang.

Det er vigtigt at eleverne lærer at tænke på gange både som gentaget-addition og arealmodel.

Arealmodellen har den styrke at den er nemmere at udvide til decimaltal, det er nemmere at forestille sig noget der er 3,5 m på den ene side og 4,25 meter på den anden side, end at forestille sig 3 piger, der hver har købt 4 is.

Eleverne skal lære at koble deres sproglige udtryk, med arealmodellen, som er visuel. Arbejdet med tegneserier kan være en måde at koble det visuelle med det sproglige.

Tegningen/regnehistorien er en arealmodel. Fx er 4·6 antallet af sodavand i en kasse, 2·6 antallet af æg i en æggebakke.

Arealmodellen er et udtryk for at gange kan opfattes som en smart måde at tælle ting der er organiseret i en firkant.

Arealmodellen er udtryk for en visuel tankegang.

I arbejdet med areal af rektangel anvendes denne model, deraf navnet.

Det er vigtigt at eleverne lærer at tænke på gange både som gentaget-addition og arealmodel.

Den gentagede addition er utrolig anvendt i økonomiske situationer, man køber mange varer til samme pris, man betaler samme husleje i mange måneder osv.

Eleverne skal lære at koble deres visuelle tankegang, med gentaget addition, som ofte gives i et sprogligt udtryk. Arbejdet med tegneserier kan være en måde at koble det visuelle med det sproglige.

Vær opmærksom på at det vil genere en elev med arealmodellen, at 4·7 lige så godt kan være en historie om 7 børn med 4 bolde hver, som en historie om 4 børn med 7 bolde hver. Den tvetydige opfattelse kan genere dem.

Evaluering af de fire regningsarter – kort fortalt

Addition

Forslag til regnestykker, der kan læses højt:

  • 6 + 3
  • 16 + 19
  • 13,50 + 21,75

Vær opmærksom på:

At de allerfleste elever formodentlig regner dette rigtigt – og det er jo dejligt. Læg mærke til om tegningen kan “læses højt”. Det kan den ikke, hvis der ikke er et overbegreb til de tegnede ting. Hvis tegningen fx viser 3 træer og 6 bildæk, hvad er der så 9 af? Læg mærke til om der i klassen er eksempler på både “forøgelse” og “sammenlægning”. Forøgelse er, at man får mere af samme slags: “Line havde 6 servietter og så fik hun 3 servietter mere af sin mormor. Hvor mange servietter har Line nu?”. Sammenlægning er, at man har to forskellige grupper af genstande, der samles i et overbegreb: “Vi har 6 colaer og 3 fantaer med, hvor mange sodavand har vi tilsammen?”. Det er vigtigt at eleverne lærer at tænke i begge typer historier.

Subtraktion

Forslag til regnestykker, der kan læses højt:

  • 12 – 3
  • 23 – 15
  • 13,50 – 6,75

Vær opmærksom på:

At det kan være svært at tegne minustegninger. Læg mærke til, om der i klassen er eksempler på både “reduktion”, “mangel” og “forskel”. Reduktion er, at nogle bliver fjernet: “Der var 12 fisk i alt, men 3 er spist og er i maven på en haj. Hvor mange fisk er der tilbage?” Mangel er, at der mangler et antal i at være fyldt op: “I en æggebakke med plads til 12 æg er der kun 3 æg, hvor mange mangler der?” Forskel er, at man sammenligner to mængder og betragter forskellen: “Line har 12 kroner, Anne har 3 kroner, hvad er forskellen?” I “forskel” situationer er det vigtigt at bede eleverne “læse deres tegning højt”, da der i stedet kan være tale om en additionshistorie, som altså er et udtryk for at eleven ikke har et godt billede af subtraktion. Det er vigtigt at eleverne lærer at tænke i alle typer historier

Multiplikation

Forslag til regnestykker, der kan læses højt:

  • 4 · 7
  • 2,5 · 4,5
  • 5 · 6 · 3

Vær opmærksom på:

Tolkning af 4 · 7 er givet udførligt ovenfor. I en opgave med gange af to decimaltal er det næsten kun muligt at bruge arealmodellen. I en opgave med gange af tre tal er det oftest tegninger/historier om kombinationer eller rumfang.

Division

Forslag til regnestykker, der kan læses højt:

  • 24 : 3
  • 260 : 4
  • 360 : x = 85

Vær opmærksom på:

Læg mærke til om der i klassen er eksempler på både “ligedeling” og “opmåling”. Ligedeling er, at der deles ud til et bestemt antal, så alle får lige meget, i princippet kan man dele ud En ad gangen:”24 flødeboller deles mellem tre børn, hvor mange får de hver?”. Opmåling er, at der skal deles ud i lige store portioner, man skal så finde ud af hvor mange portioner det bliver til: “24 porrer skal pakkes i pakker med tre porrer i hver pakke, hvor mange pakker bliver det til?”. Specielt den sidste type divisionsstykke: 360 : x = 85 lægger op til en opmålingssituation. Det er vigtigt at eleverne lærer at tænke i begge typer historier.