Der er langt fra træning til projekter

Enhver undervisning i matematik indeholder en lang række aktiviteter ud over den fælles klasserumssamtale, som eleverne arbejder med enten selvstændigt eller i grupper. Disse aktiviteter spænder over opgaveregning fra lærebogen til spilledag i klassen, eventuelt organiseret som værksteder.

Som lærer skal man være bevidst om hvilke typer af aktiviteter eleverne kommer til at arbejde med. Aktiviteter kan vurderes i et tredimensionalt aktivitetsrum, hvor de tre akser beskriver graden af åbenhed, inddragelse af virkelighed og problemløsning. Der er ikke nogle steder i aktivitetsrummet der er bedre for eleverne end andre, men det er vigtigt at bevæge sig rundt i aktivitetsrummet og komme et stykke ud af alle tre akser, da virkeligheden udenfor skolen ligger langt ude af alle tre akser.

Man skal være bevidst om, at man ikke kan springe ret langt ad gangen. Elever kan ikke beskæftige sig med aktiviteter med en meget lille grad af åbenhed, inddragelse af virkelighed og problemløsning i mange år og så lige pludselig hoppe langt ud af alle tre akser og arbejde med et selvvalgt projekt. Man skal være bevidst om at bevæge sig i små hop ud af hver af de tre akser.
NyhedsbrevAktiviteter1
En aktivitet kan være mere eller mindre åben:
Opgaven “3*375 =___” er ikke åben, opgaven “Find to tal der giver 10 tilsammen” har begrænset åbenhed og opgaven “Lav et budget for en skiferie” har høj grad af åbenhed.

En aktivitet kan inddrage mere eller mindre virkelighed:
Opgaven “25,95-2*16,95=____” indeholder ingen virkelighed, opgaven “To stk Latta margarine koster 25,95. Normalpris pr stk. er 16,95. Hvad er rabatten ved køb af to stk?” er tæt på en virkelighed udenfor skolen. Endnu mere autentisk havde det været gå en tur i SuperBrugsen med mor eller at bruge tilbudsavisen fra SuperBrugsen direkte i undervisningen.

Graden af problemløsning handler om, i hvilken grad man arbejder på kanten af sin viden. Graden af problemløsning er forskelligt fra person til person. For eksempel er “Hvad er en halv plus en kvart” ikke på kanten af ny viden for en matematiker på et universitet, men nyt og vanskeligt for de fleste elever i 3. klasse. Hvis man kan løse et matematisk problem ved at slå sin matematiske autopilot til, så er graden af problemløsning meget lille. Graden af problemløsning stiger hvis man skal bruge forskellige strategier inden man kan begynde at bruge sine matematiske færdigheder.

Træningsopgaver

Træningsopgaver er de opgaver man bruger for at opnå rutine og automatisering i en færdighed. For at træningsopgaver netop rammer så de styrker rutinen, skal eleven have forstået det faglige indhold til en vis grad og selv være bevidst om, at meningen med træningsopgaverne er at blive hurtigere og sikrere. Træningsopgaver ligger nederst på problemløsningsaksen og ikke ret langt ude af hverken åbenhedsaksen eller virkelighedsaksen.

Tekstopgaver

I tekstopgaver er matematikken indeholdt i en tekst. Der findes mange forskellige slags tekstopgaver, og de varierer i både graden af åbenhed, inddragelse af virkelighed og problemløsning. De fleste tekstopgaver i lærebøger ligger relativt langt ude på virkelighedsaksen, for de fleste elever også et stykke ud af problemløsningsaksen og ikke ret langt ud af åbenhedsaksen

Grublere

I matematikundervisningen findes der særlige opgaver, som kaldes grublere. De fleste mennesker kan ikke løse en grubler uden videre, men skal prøve forskellige strategier inden de finder en løsning. Grublere ligger højt oppe ad problemløsningsaksen, og typisk ikke ret langt ude af hverken åbenhedsaksen eller virkelighedsaksen.

Projekt

Projektarbejde tager udgangspunkt i et virkeligt problem, og ligger typisk langt ude af alle tre akser. I alt projektarbejde er der en meget høj grad af åbenhed og en meget høj grad af problemløsning.

Tematisk undervisning

I tematisk undervisning er udgangspunktet virkelig kontekst. Graden af problemløsning og åbenhed kan variere fra aktivitet til aktivitet.

Spil

Spil kan placere sig mange forskellige steder i aktivitetsrummet. Nogle spil (for eksempel online spillet Costa del Tax på Skats hjemmeside) har som sit primære mål at være tæt på virkeligheden. Andre spil (for eksempel Decimaltalsspillet, hvor eleverne konkurrerer på at komme tættest på resultatet af division af to primtal) har træning af færdigheder for øje. Andre spil (for eksempel tændstikspillet Nim, hvor det handler om at undgå at tage den sidste tændstik) har strategiudvikling som sit primære mål. Strategispil ligger højt oppe ad problemløsningsaksen.
NyhedsbrevAktiviteter2

Åbne opgaver

En åben opgave er en opgave hvor der er flere rigtige løsninger. Det er ikke tilstrækkeligt, at der er flere mulige løsningsstrategier, der skal være flere rigtige svar. En åben opgave kræver at eleven foretager nogle valg for at fastlægge rammer og forudsætninger for at kunne regne på opgaven, eleven skal så at sige definere den eller de lukkede opgaver i den åbne opgave.

Et eksempel:
“En gruppe unge mennesker vil købe pizzaer. En pizza er nok til 3 mennesker. Hvor mange pizzaer skal de købe?”
Eleven skal beslutte, hvor mange unge mennesker der er, før der er noget der kan regnes på. Og beslutter eleven et antal mennesker, som 3 ikke går op i, må eleven også beslutte, hvornår der skal rundes op eller ned.

Åbne opgaver giver en konstruktiv medlæring i matematikundervisningen. Eleverne oplever at matematik er et fag hvor det ikke er nok at høre svaret, man må også høre forudsætningerne for svaret. Matematik bliver på den måde et fag, hvor der er forskellige måder at se og gøre tingene på, det er et fag man kan diskutere og deltage i, og ikke blot et fag der er faldet fikst og færdigt ned i en lærebog med facitliste.

I verden udenfor skolen er de fleste matematikproblemer åbne, forstået på den måde at man skal foretage en række valg inden man kan regne på problemet. Hvis man vil låne penge, skal man vurdere hvor meget man vil låne, tilbagebetalingstid, lånetype, långiver og meget mere.

Med åbne opgaver kan man lave undervisningsdifferentiering uden at det bliver elevdifferentiering. Elevernes egne valg bliver udgangspunktet for deres læring og udgangspunkt for den hjælp læreren eventuelt giver eleven.

Arbejdet med åbne opgaver er en måde at lære eleverne at udfordre sig selv. Opgaverne kan besvares med almindelige svar, vanskelige svar og smarte svar. Almindelige svar er de svar der falder en ind først. I pizzaopgaven for eksempel “De skal købe 3 pizzaer, for de er 9 unge mennesker”. Almindelige svar bruger nemme tal i en realistisk sammenhæng.
Vanskelige svar er de svar som kræver flere og/eller vanskelige udregninger. I ovenstående eksempel kan et vanskeligt svar være “3 pizzaer, hvor der er 1/3 pizza til overs til dagen efter, fordi de var 8 mennesker”. Man kan også stille flere krav til opgaven, for eksempel “Der er 19 mennesker, men 2 af dem spiser dobbelt så meget som de andre, derfor skal de købe 7 pizzaer, og der er ikke noget til overs.”
De smarte svar er de svar, hvor man ikke skal regne ret meget. Et smart svar vil ofte være en formel eller en anden generel løsning på problemet. Et smart svar på pizzaopgaven er for eksempel at sige “Vi kalder antallet af mennesker x. Antallet af pizzaer er x:3 rundet op til nærmeste hele tal”. Blandt de smarte svar er ofte svar med tallet 0, for eksempel “De købte 0 pizzaer for de var 0 unge mennesker”. Sådanne svar kan umiddelbart virke provokerende, men de er vigtige at få frem, da tallet 0 er lidt mystisk for mange elever.

For nogle elever er et givet svar for eksempel vanskeligt, mens det for andre er almindeligt.

Formålet med kategorisering er at få eleverne til at udfordre sig selv. I arbejdet med åbne opgaver skal alle elever lære at vurdere hvilken kategori deres svar er i, og derefter lave et svar i en anden kategori. De dygtige elever skal lære, at de skal svare i alle tre kategorier, og ikke for eksempel nøjes med at stille en række betingelser op, uden at gennemføre beregningerne. Der skal altid svares på den oprindelige opgave.

Typisk er der ikke mange åbne opgaver i lærebøgerne. Heldigvis er det ikke svært selv at lave åbne opgave ved at åbne eksisterende opgaver fra lærebøgerne. Der er to måder at åbne en lukket opgave: Man kan fjerne nogle af de givne oplysninger (om pizzaopgaven stod der i lærebogen, at der var 15 unge mennesker), eller man kan vende opgaven om: Give svaret og spørge om opgaven. Det kan for eksempel være: Gennemsnittet af fem basketballspilleres højde er 196 cm. Hvilke højder kan de fem basketballspillere have?

Eksempel 1: To tal lagt sammen

En åben opgave, som er ikke ligger særlig langt ud af åbenhedsaksen: “To tal lagt sammen giver 30. Hvilke to tal kan det være?”

De almindelige svar er for eksempel 20 + 10, 25 + 5 og 15 + 15, svar med to nemme hele positive tal. De vanskelige svar, hvor eleverne har givet sig selv noget arbejde, er for eksempel 19 + 11, – 3 + 33, 18,97 + 11,03 og 27 5/17 + 2 12/17, svar med sværere tal, negative tal, decimaltal eller brøker. De smarte svar, hvor eleverne tænker en del men ikke regner så meget, er for eksempel 30 + 0, x + (30 – x) eller de talpar der ligger på denne linje:
NyhedsbrevAktiviteter3
Opgaven er mest velegnet til indskolingen og mellemtrinnet. Ved at erstatte tallet 30 med et negativt tal eller en brøk, kan den også bruges i udskolingen.

Eksempel 2: Biler på parkeringspladsen

En åben opgave som ligger et stykke ud af åbenhedsaksen og et stykke ude af virkelighedsaksen: “Hvor lang tid skal man sidde på skolens parkeringsplads for at der tilsammen har været for 10 millioner kroner biler?”

I denne opgave kan man diskuterer bilpriser, hvordan biler taber i værdi, om det er lærernes parkeringsplads eller forældrenes, om forskellige mennesker med forskellige indkomster kører i forskellige biler, befolkningssammensætning i området, hvilket tidspunkt på dagen man snakker om og så videre.

I de almindelige svar er kun få forudsætninger diskuteret og valgt. I de vanskelige svar har eleverne diskuteret mange af ovennævnte ting og valgt realistiske scenarier, måske endda på forskellige tidspunkter af dagen og på forskellige parkeringspladser. I denne opgave er der ikke rigtig nogen smarte svar. Alle svar kræver en del udregninger, men de vanskelige svar kan generaliseres til forskellige funktionsudtryk og grafer, hvor man kan aflæse hvor lang tid man skal vente afhængig af hvilke prisklasser af biler, der i gennemsnit kommer og hvor tit de kommer på den givne parkeringsplads.

Opgaven er mest velegnet til mellemtrinnet og udskolingen.

Eksempel 3: Ødelagte taster

En åben opgave, der ikke ligger ret langt ud af åbenhedsaksen:
Man leger at elevernes lommeregnere er gået i stykker, for eksempel virker tasterne 1, 3, 5 og 6 ikke længere. Så siger man til eleverne, at man gerne vil have, at de får tallet 3156 frem i displayet.

Det kræver en del arbejde for de fleste, og en del udbrud i stil med “nu har jeg den”, men inden man når hen til eleven er der kommet et “nå nej, jeg måtte jo ikke bruge 6”. Et almindeligt svar på denne opgave er 2274+882. Der er brugt addition af to tal. Andre elever har brugt andre strategier og lagt flere tal sammen for eksempel 2000+800+200+80+70+4+2. Når eleverne har afleveret svar som de nævnte, kan man udfordre dem yderligere ved at tilføje, at nu virker plus ikke længere. Så skal eleverne finde et for dem vanskeligere svar. Og når de finder en løsning, hvor de for eksempel kun har brugt subtraktion, ved mange af dem godt, at nu ødelægger læreren også bare minustasten, så de går selv i gang med næste udfordring. Et smart svar er “4 går op i 3156, så jeg har trykket 4 + indtil jeg nåede det rigtige resultat”.

Opgaven kan løses alene ved subtraktion 8000-4844, alene ved multiplikation 4*789 og alene ved division 22092:7.

Afhængig af klassetrin kan man vælge forskellige antal taster, der er i stykker eller tal der skal stå i displayet. For de alleryngste elever er det udfordring nok at sige at 6-tasten er gået i stykker, og at de skal få 6 frem i displayet.

Opgaven er velegnet fra 0.-10. klasse.

Eksempel 4: Hunden

Hunden er en meget enkel åben opgave som egner sig godt til en klasserumssituation. Alle elever kan komme med svar på opgaven, og svarer eleven forkert, er det hunden, der bliver til grin og ikke eleven.

Læreren tager en handskedukke med i klassen for eksempel en hundedukke. Handskedukken er lidt dum, faktisk så dum at den kun kan sige et tal om dagen. For eksempel kan den en dag kun sige “tolv”.
Eleverne skal stille hunden spørgsmål, som den kan svare på. De første – almindelige – spørgsmål er for eksempel “hvad er 6+6?” og “hvad er 10+2?”. Mere vanskelige spørgsmål er for eksempel “hvad er 15-3?” og endnu vanskeligere “hvad er 21-9?”. Der er også elever der finder på andre slags spørgsmål for eksempel “hvor gammel er du?”, “Hvor mange timer er der fra middag til midnat?” eller “Hvor mange disciple havde Jesus?”. Et smart spørgsmål kan være “Hvad er et 1-tal med et 2-tal bagefter?”

Det giver grin i klassen at drage virkeligheden ind, da det for eksempel er skørt hvis handskedukken svarer 12 til spørgsmålet “hvor gammel er vores lærer?”. Disse grin er gode, da de viser at eleverne prøver at forbinde tallene med deres virkelighed og ved hvad der er skørt og hvad der er realistisk.

Det er ikke flovt at spørge hvad 15-4 er, det er handskedukken der svarer forkert når den siger 12. Læreren kan lade handskedukken blive flov, når den opdager den har svaret forkert, det støtter at der ikke er noget i vejen med eleven, og viser samtidig at spørgsmål og svar ikke passer sammen.

Aktiviteten er mest velegnet til indskolingen.

Undersøgelser

En matematisk undersøgelse er en matematisk fordybelse i en problemstilling, hvor man indenfor denne rejser og besvarer nye spørgsmål. Matematiske undersøgelser er en måde at fordybe sig i et matematisk område på en undervisningsdifferentieret måde.

Man kan arbejde med matematiske undersøgelser ved at følge nedenstående fire trin.

Første trin, Startskuddet, er en opgave. Eleverne løser opgaven, gerne i små grupper. Opgaven må gerne være lidt upræcist formuleret – det giver anledning til snak om hvad der menes med den.

Den løse snak om de upræcise sider af opgaven bringer klassen videre til næste trin, Udvidelsen. Med læreren ved tavlen formulerer man i fællesskab en række udvidelsesspørgsmål, for eksempel “Vi skulle tegne en stjerne. Hvilken form har en stjerne egentlig?” eller “Du sagde ikke noget om at tallene skulle være positive, hvad nu hvis man godt måtte bruge negative tal?”. Læreren kan, ud fra gruppernes småsnak om hvad der menes med opgaven, starte med at foreslå nogle udvidelsesspørgsmål og skrive disse på tavlen. Så ved eleverne hvad det drejer sig om, og de kan bidrage med yderligere udvidelsesspørgsmål, for eksempel “Hvordan vil opgaven se ud med andre tal, for eksempel større tal, mindre tal, negative tal eller brøker?” eller “Kan man finde en generel formel for opgaver af denne type, hvor nogle af de indgående tal er erstattet af bogstaver?”

I tredje trin, Laboratoriet, arbejder eleverne i grupper med udvalgte udvidelsesspørgsmål. Nogle kommer man hurtigt igennem, mens andre viser sig at være alt for svære. Begge dele gør, at eleverne må vælge andre udvidelsesspørgsmål. Eleverne skal dokumentere deres undersøgelse: Skemaer til at holde styr på data, tegninger med navngivning af elementer eller tekst om hvad man har regnet på. Målet er, at eleverne kan formulere deres iagttagelser i definitioner og/eller teorier, for eksempel “En stjerne er en mangekantet figur, der har mere end fire hjørner. Den kantede figur er formet så der er takker, altså at hvert andet hjørne vender udad og hvert andet hjørne vender indad.” Eller teorien “Den n’te figur har n+1 trekanter”.

I fjerde og sidste trin i undersøgelsesprocessen, Konklusion, samles elevernes definitioner og teorier på tavlen og diskuteres. Nogle må forkastes eller forfines, da der er andre elever der har gode modargumenter, og nogle iagttagelser kan ses som specialtilfælde af andres mere generelle iagttagelser. Til slut kan man i fællesskab prøve at finde generelle argumenter for de fundne iagttagelser, eller man kan lade de dygtigste arbejde videre hermed.

En lærer kan ikke på forhånd kende forløbet af en matematisk undersøgelse, da læreren ikke kender elevernes udvidelsesspørgsmål. Jo oftere en lærer har været igennem undersøgelsesprocessen ud fra de samme startskud, jo bedre rustet er læreren til for eksempel at bremse elever, der har valgt en for vanskelig udvidelse, eller hjælpe elever, der er gået i stå en udvidelse.

Eksempel 1: Centicubestænger

Læreren har i forvejen lavet en stang af for eksempel 16 centicubes med et bestemt mønster i farverne. Startskuddet er at bede eleverne forudsige hvilken farve centicube nummer 25 skal have.

For eksempel kan læreren have lavet denne stang:
NyhedsbrevAktiviteter4
Udvidelser af denne opgave kan være:

  • Hvilken farve har nummer 100?
  • Er der et system mellem farve og nummer?
  • Hvad nu hvis man må bruge flere farver?
  • Hvad nu hvis man laver dette mønster i stedet:

NyhedsbrevAktiviteter5

Når undersøgelsen er i gang arbejder eleverne konkret med centicubes. Nogle elever arbejder med at forudsige farverne på konkrete numre af centicubes, mens andre prøver at formulere generelle regler. Disse formuleringer kan have mange udtryk, lige fra mundtligt hverdagssprog til matematikkens symbolsprog.

Man kan hjælpe eleverne med følgende faglige input:

  • Lige og ulige tal
  • Tabellerne og formuleringer som “lige før et tal i 4-tabellen” eller “4-tabellen minus 1”.
  • Det vokser med en mellem hver rød. I andre tilfælde: det vokser med n-tabellen.

Undersøgelsen er mest velegnet til indskolingen.

Eksempel 2: Stjerneundersøgelse

Startskuddet for denne undersøgelse er opgaven “Tegn en syvtakket stjerne i en streg, uden at løfte blyanten fra papiret.”

Mange elever vil have svært ved at løse opgaven til deres egen tilfredshed. Der kommer spørgsmål som “Må jeg godt det her?”, “Det her er godt nok en syvtakket stjerne, men den er ikke særlig pæn” eller “Er det her en stjerne?”. Der vil også være elever der er tilfredse med deres egen stjerne, men frustrerede over at naboen også har en han er tilfreds med, som ikke er den samme. “Er de begge to rigtige?”. Der er også elever der finder på et system med at tegne 7 prikker og springe til hver anden eller hver tredje prik, de er ofte svære at stoppe, for de er allerede i gang med at se om systemet virker med 8 prikker.

Man vil for eksempel se følgende stjerner under Startskuddet:
NyhedsbrevAktiviteter6

Under Udvidelsen tager man udgangspunkt i ovennævnte elevspørgsmål, og noterer for eksempel følgende udvidelsesspørgsmål på tavlen:

  • Hvilken form har en pæn stjerne?
  • Hvor mange forskellige stjerner kan der tegnes med 7 takker?
  • Hvad er gradtallet for takkerne i en pæn 7-takket stjerne? Eller en stjerne med et andet antal takker?
  • Hvor mange skæringspunkter er der i de forskellige slags stjerner?
  • Hvis man bruger systemet med at tegne prikker på en cirkel. Hvilke stjerner kan tegnes og hvilke kan ikke, afhængig af hvilket nummer prik man springer hen til?
  • Kan man tegne stjerne med alle mulige antal takker?
  • Hvilke spring giver samme stjerne?
  • Kan man tegne stjerner med et lige antal takker?

Man kan, når undersøgelsen er i gang, hjælpe eleverne ved at lade dem bruge et bræt, nogle søm og snor til at lave deres stjerner. Eleverne kan eksperimentere med sømmenes placering, for at få stjerner de er tilfredse med.

Under undersøgelsen kan man hjælpe elever videre, for eksempel med følgende faglige input:

  • Centervinkel: vinkel i cirkel, hvor vinkelspidsen ligger i centrum.
  • Divisor: d er divisor i n, hvis d går op i n.
  • Indbyrdes primisk: To tal er indbyrdes primiske, når de ikke har andre fælles divisorer end 1.
  • Konkav: En figur er konkav, hvis noget af den vender indad, altså når man kan tegne en linje udenfor figuren fra en kant til en anden
  • Konveks – det modsatte af konkav
  • Pentagon: en femkant
  • Pentagram: den regulære femtakkede stjerne, der kan tegnes i en streg
  • Periferivinkel: vinkel i cirkel, hvor vinkelspidsen ligger på cirklen
  • Periferivinklen er altid halv så stor som den tilhørende centervinkel.
  • Polygon: en mangekantet figur
  • Primtal: naturligt tal, hvori kun 1 og tallet selv går op
  • Regulær: ser ens ud fra alle mulige vinkler
  • Spejlingsakse

Nedenfor er nogle af de resultater som eleverne kan komme i nærheden af. Elevernes formuleringer vil være mere hverdagsagtige.

  • En stjerne er en konkav mangekantet figur, der har mere end fire hjørner. Den kantede figur er formet så der er takker, altså hvert andet hjørne vender udad og hvert andet hjørne vender indad.
  • En stjerne er pænest når den er regulær, det vil sige når den har den højest mulige grad af symmetri.

Nedenfor er n er antal takker p er den prik man springer hen til. Hvis man for eksempel springer til hver fjerde prik, er p = 4.

  • En regulær n-takket stjerne har n spejlingsakser.
  • Vinkelsummen af stjernespidserne er: NyhedsbrevAktiviteter7
  • For at finde denne formel bruger man igen og igen at periferivinklen er halvdelen af centervinklen.
  • I en stjerne, hvor n er ulige, får man de spidseste takker når p=(n-1)/2. I en sådan stjerne er gradtallet for takkernes vinkel: 360°/(2*n)
  • Antallet af knudepunkter – hvor man tæller takkernes spids med – er for de spidseste stjerner med ulige antal takker: n*(n-1)/2
  • Med n prikker tegnes samme stjerne uanset om man springer til hver p’te prik eller hver n-p’te prik. Med 7 prikker giver spring til hver 2. prik samme stjerne som spring til hver 5. prik.
  • En vilkårlig stjerne med n takker, hvor vi rammer hver p’te prik, vil kunne tegnes når og kun når n og p er indbyrdes primiske. Med 10 prikker tegner man ikke en 10-takket stjerne hvis man springer til hver 4. prik, da 10 og 4 har 2 som fælles divisor. Man ikke kan tegne en sekstakket stjerne i en streg da 6 ikke er indbyrdes primisk med hverken 2, 3 eller 4.
  • En vilkårlig stjerne med n takker, hvor vi springer til hver p’te prik, vil kunne tegnes når og kun når n og p’s tabeller ikke rammer hinanden før i n*p. For eksempel kan man med 10 prikker ikke springe til hver 4. prik, da 10-tabellen og 4-tabellen mødes i 20, som kommer før 10*4=40.

Undersøgelsen er mest velegnet til elever på mellemtrinnet og i udskolingen. De yngste elever på mellemtrinnet vil naturligvis ikke få det samme ud af undersøgelsen, som de ældste elever i overbygningen. Men de yngste elever kan komme frem til teorier som “De superulige tal er de bedste. Når man bruger dem, kan man lave flest forskellige stjerner med det samme antal søm.” Hvor de med “superulige” mener primtallene.