Matematik-dansk – et særligt sprog
Når man underviser tosprogede, kan det være fristende at tænke, at først må de have lært noget dansk, så kan vi bagefter begynde at lære dem noget fag. Det går ikke. Man kan ikke vente med at give tosprogede elever anden undervisning end dansk indtil de læser, taler og skriver flydende dansk og – endnu vigtigere – sproget kan slet ikke skilles fra faget. Det sprog vi bruger i matematik er dansk, men en særlig slags dansk, der hører til matematikfaget og skal læres som en del af matematikfaget. Selv som matematiklærere skal vi altså også tænke på os selv som undervisere i dansk – matematik-dansk.
Denne artikel handler om at beskrive noget af dette særlige matematiksprog, forklare hvordan det er forskelligt fra hverdagens dansk og give nogle tips til, hvad man som lærer kan gøre for at lette forståelsen.
Den sprogfattige indskoling
Alle danske matematikbogsystemer er enige om en ting: Det skrevne danske ord hører ikke hjemme i en matematikbog før i 4. klasse, og derefter regner man med at eleverne kan læse hvad som helst.
Det er slående at betragte bogssystemerne ud fra denne vinkel. Der er næsten ikke et skrevet dansk ord i matematikbøgerne fra 0.-3. klasse, men derimod masser af tal, symboler og tegninger. Fra starten af 4. klasse skifter matematikbøgerne totalt karakter. Det er nu tekst der dominerer i bøgerne, og meget færre regnestykker og tegninger.
Derudover går bøgerne fra at være engangsbøger til at være flergangsbøger. Eleverne i 0.-3. klasse skal således heller ikke skrive ret meget og da slet ikke tekst. De skal typisk kun skrive tal på nogle linjer. Fra 4. klasse skal eleverne bruge et hæfte til at skrive svarene i, og mange af opgaverne er stillet så der forventes lidt tilhørende tekst i svaret. Lidt karikeret regner vi altså med at eleverne lærer at læse og skrive matematik i løbet af sommerferien mellem 3. og 4. klasse.
Det er således ikke så underligt, at rigtig mange elever, her i blandt en stor del tosprogede, pludselig får problemer med matematik i 4. klasse. Det er simpelthen et nyt fag der møder dem efter sommerferien. Mange lærere ved godt at det skyldes at eleverne ikke kan læse teksten i matematikbogen godt nok, men nogle drager den forkerte konklusion. De giver teksten skylden for børnenes problemer og mener at disse børn bør have en matematikundervisning uden tekst. Men vi kan ikke have en matematikundervisning uden tekst – kun med symbol regnestykker. For det første skal vi jo kunne tale om faget for at kunne lære det. Kun gennem sproget kan elever og lærer kommunikere om faget, så sproget er nødvendig for en vilkårlig læreproces. Derudover er matematikfaget i dagens Danmark et anvendelsesfag. Målet med matematikundervisningen er, at eleverne kan anvende faget, og fagets anvendelser kræver i høj grad et sprog.
Eleverne skal lære at læse og forstå sproget i matematik. Generelt er lærebøgerne ikke særlig bevidste om denne side af matematiklæringen, hvilket fordrer en højere bevidsthed fra lærerens side.
Før-faglige begreber
Jørgen Gimbel, der er lektor ved Danmarks Pædagogiske Universitet, lavede i 1995 en lille undersøgelse af tyrkiske elever ordforråd i orienteringsfagene. Undersøgelsen var ikke stor, men resultaterne er ganske bemærkelsesværdige.
I Jørgen Gimbels undersøgelse indgik 16 tyrkisktalende 5. klasses elever og 16 danske elever. Eleverne blev mundtligt og skriftligt præsenteret for 50 før-faglige ord fra lærebøger i orienteringsfagene (geografi, biologi og historie). Eleverne skulle så forklare ordene, på et sprog af eget valg.
Disse 50 før-faglige ord var udvalgt på en måde, som meget godt illustrerer hvad før-faglige ord egentlig er for nogle. Jørgen Gimbel have udvalgt 90 højfrekvente ord fra de omtalte lærebøger. Disse 90 ord blev så præsenteret for 3 erfarne orienteringsfagslærere, som afmærkede, hvilke ord de ville forklare i klassen. De afmærkede ord blev så udeladt og tilbage var 50 ord. De højfrekvente ord, som lærerne ville forklare i klassen kan siges at være fagord, de resterende højfrekvente ord, som de ikke ville forklare, kan siges at være før-faglige ord. Før-faglige ord er altså ord som ofte anvendes i faget, men som antages at være kendte for eleverne fra tidligere erfaringer. Der var meget stor forskel på de danske og tyrkiske elevers kendskab til disse ord. I gennemsnit kendte de tyrkiske elever 15 af ordene (min. 3, max. 37), mens de danske elever i gennemsnit kendte 42 (min. 35, max. 47).
Ikke nok med at de danske elever kendte langt flere ord, de var også bedre til at gætte betydningen af de ord de ikke kendte. For eksempel havde nogle tyrkiske elever følgende fejltolkning: ‘Landbrug’ – er det ikke en bro? Mens en typisk dansk fejl er ‘Landbrug’ – er det ikke noget med ude på landet? De tyrkiske elever gætter altså primært ud fra lyden af ordet (det fonetiske), mens de danske børn ofte gætter på noget, der betydningsmæssigt er i nærheden. Og et gæt ud fra en fonetisk fortolkning er ofte helt forkert.
Strategier til at forstå ukendte ord og udtryk
Som det også illustreres i Gimbels undersøgelse, så bruger vi nogle gættestrategier, når vi møder et ord, vi ikke kender. Der er to grundlæggende forskellige sæt af strategier: Holistiske strategier og analytiske strategier.
Det holistiske sæt af strategier handler om at have viden om verden og bruge den, så den kontekst ordet indgår i kan hjælpe en til at gætte på ordets betydning.
De analytiske strategier handler om at bruge sit kendskab til ordenes udtale (fonetik), hvilke vendinger ordet ofte indgår i (ideomatik), stavemåde (ortografi), hvilken ordklasse ordet tilhører osv. Begge typer af strategier er nyttige, da de supplerer hinanden.
Som lærer skal man eksplicit undervise i disse forskellige strategier, så eleverne kan lære at anvende dem. Jo flere strategier man har at gøre med, jo bedre!
Det særlige ved matematikkens sprog
Jeg vil fremhæve fire områder, hvor matematikkens sprog adskiller sig fra hverdagssprog
- Brug af uklart subjekt
- Logik i sproget
- Brug af spørgesætninger
- Ord med forskellig betydning i matematik- og hverdagssproget
Brug af uklart subjekt
I både mundtlig og skriftlig matematik har vi en tilbøjelighed til at bruge formuleringer, hvor subjektet er uklart, dvs det er uklart hvem der laver hvad:
I matematik bruges ofte passivformen af verberne læse, skrive og kalde.
“Nogle tal kan læses på hovedet f. eks. 69 og 81” (Matematik i fjerde, Gyldendal) og “En linie der forbinder to hjørner i en polygon kaldes en diagonal.” (Faktor 8-9 Begrebsbog, Malling Beck).
De elever, der ikke er sikre i matematiksproget, kan tænke: “Hvem kalder hvad?”
Der er også udbredt brug af ordene man og vi.
“Sådan finder man midten på en perspektivisk tegning” (Matematiktak for syvende klasse, Alinea)
“I eksemplet fra før, skulle vi løse ligningerne” (Faktor 8-9 Begrebsbog, Malling Beck)
De elever, der ikke er sikre i matematiksproget, kan tænke: “Skulle vi løse ligningerne, eller var det dem læreren løste på tavlen?”
Endelig bruges bydeform af verber, fx skriv, beregn, find og tegn
“Tegn en udfoldning af en terning med sidelængden 5 cm.” (Matematiktak for syvende klasse, Alinea)
De elever, der ikke er sikre i matematiksproget, kan tænke: “Hvem er det der skal tegne?
Det er ikke for at forvirre læseren, at der anvendes uklart subjekt i matematik. Matematik er i sin natur hævet over det subjektive. Det giver ingen mening at skrive: “Kurt kalder en linie der forbinder to hjørner i en polygon for en diagonal”. Pointen er jo, at det ikke bare er Kurt der kalder det en diagonal, men “alle”. Et definitionstungt fag som matematik vil bruge uklart subjekt, da der ikke er fokus på hvem der definerer, men fokus på definitionen.
Det er en pædagogisk god ide at undersøge og motivere definitioner og finde deres historie. Dette kan netop være med til at hive matematikken ned til os dødelige og vise at matematikken ikke er faldet fra himlen direkte ned i matematikbøgerne, men er skabt af mennesker.
Eleverne skal lære at læse og forstå de særlige konstruktioner med uklar subjekt, da det er en integreret og uløselig del af matematikkens sprog.
Logik i sproget
Matematik og logik hænger sammen. Matematikkens sprog er præget af logik, og det kan være alt afgørende at have styr på den logiske sammenhæng i et matematisk udsagn. For eksempel er det rigtigt at “alle kvadrater er rektangler” hvorimod det er helt forkert at “alle rektangler er kvadrater”. I hverdagssproget har sådanne fine nuancer ofte ingen betydning, vi ved godt hvad den anden mener, og derfor er det ikke gennem hverdagens erfaringer at man bliver god til at se de logiske nuancer i sproget. Det skal man bl.a. lære i matematiktimerne.
“Hvad sker der, når man ganger med hele hundreder?” (Matematik i fjerde, Gyldendal)
Hvad“, når” er en logisk forbindelse, der ofte anvendes i matematik. Den sprogligt usikre elev risikerer kun at opfange, at hun skal gange med hundrede.
“Undersøg, om det for rektangler gælder, at når omkredsen bliver større, så bliver arealet også større” (Zenit 8, Gyldendal)
Når, så er en udgave af den klassiske matematiske implikation Hvis – så. Eleverne skal lære at genkende en årsagssammenhæng, når den præsenteres i sproget. I opgaven er det årsagssammenhængen der skal undersøges, der skal ikke bare beregnes areal og omkreds af en række rektangler.
Brug af spørgesætninger
Matematikundervisning er domineret af opgaver, og mange opgaver er formuleret som spørgsmål. Man skal altså være god til at læse spørgesætninger, for at være god til at løse matematikopgaver. Heldigvis er mange af vore spørgesætninger nemme at kende, de starter nemlig med hv-ord som hvor, hvilken, hvad. Man skal dog lære at skelne mellem hvor, når ordet står alene og handler om placering og hvor mange eller hvor stor, som handler om antal eller størrelse.
Matematikopgaver kan også være skrevet med vanskeligere spørge-formuleringer, hvor man starter med et forholdsord: “I hvilke af” eller “på hvor mange måder”.
“Ved hvilken vindretninger kan skibet sejle over 8 knob?” (fsa Problemløsningsdel maj-juni 2006)
Disse spørgsmål ville ofte kunne gøres lettere tilgængelige ved at dele dem op i to:
“Skibet kan sejle over 8 knob ved nogle bestemte vindretninger. Hvilke vindretninger er det?”
Ord med forskellig betydning i matematik- og hverdagssproget
I matematik er der en del ord, som har en anden betydning i matematikken end de har i hverdagssproget. Det er for eksempel ordene forhold, funktion, rod ogpotens.
De to sidste ord er så anderledes i hverdagssproget at eleverne nok selv skal gøre opmærksomme på det og grine af dem. Men de to første (forhold og funktion) er eleverne ikke så bevidste om fra hverdagen. Mange lærere er heller ikke rigtig opmærksomme på, at disse ord lever to forskellige liv i henholdsvis matematikken og hverdagen. I hverdagen er forhold noget ens forældre har til hinanden (eller til en anden!) og funktion er noget tændrøret har på ens knallert (tændrøret har den funktion at den laver en gnist som antænder benzindampene). I matematik har to tal eller størrelser et forhold til hinanden, forholdet er den ene divideret med den anden, og der er forskel på forholdet mellem 5 og 10 og på forholdet mellem 10 og 5.
I ligningen y=2x+3 er y en funktion af x
Som matematiklærer skal man være bevidst om de ord der har forskellige betydninger i matematikkens sprog og i hverdagssproget, og man skal undervise eksplicit i begge betydningerne. Mange gange hænger de to betydninger sammen et sted langt ude, og det kan være sjovt at lede efter sammenhængen.
Temaer i matematikundervisningen
Mange lærebøger er i dag bygget op omkring temaer hvori matematikken introduceres. Et eksempel er Danmarks Skove (Matematiktak for fjerde klasse, Alinea) hvori begrebet procent bruges for første gang. Skal eleverne lære noget nyt matematik, er det en god ide at vælge en kontekst, som er kendt for eleverne. Man skal ikke bilde sig selv ind at eleverne både lige kan lære noget om løvtræer og nåletræer samtidig med at de lærer procentbegrebet. Hvis begge dele er nyt for dem, der er en overhængende risiko for at de ikke rigtig lærer nogen af delene.
Mange vælger ofte temaer som eleverne interesserer sig for, når de vil starte et nyt emne i matematik. For disse lærere er argumentet ofte motivation, det er simpelthen sjovere for eleverne når de arbejder med noget der interesserer dem. Nu har disse lærere et argument mere: et velkendt tema er ikke blot motiverende, det er understøttende for læringen.
Dette betyder ikke, at man aldrig kan arbejde med temaer i matematik, som eleverne ikke kender på forhånd. Men når man gør det, så skal det matematik der indgår være velkendt og den matematikfaglige pointe ikke være at introducere ny matematik, men at arbejde med kendt matematik i anvendelse.
Forslag for fremtiden
Løsningen på problemet med elever der ikke har så nemt ved at forstå sproget i matematikken, er ikke mindre sprog i matematik, men mere sprog i matematik og ikke mindst mere eksplicit fokus på sprog i matematikundervisningen.
Nogle forslag til hvordan man kan rette mere eksplicit fokus på sproget i matematikundervisningen er brug af begrebskort, regnehistorier, ordindsætning og skærmleg.
Begrebskort light
Lad eleverne lave begrebskort i deres egne hæfter og til at hænge op i klassen. Plakater med begrebskort hængt op i klassen er en god måde at få gjort matematikordene tydelige. Og så kan man jo altid glæde sig over den skjulte indlæring der sker, når eleverne sidder og keder sig i tysktimerne og falder i staver med blikket fæstnet på et begrebskort om procent. Plakater med begrebskort er en god ide lige fra skolestarten.
Jeg kalder disse for begrebskort light, da den sædvanlige brug af begrebskort kræver en hierarkisk ordning af begreberne med pil på relationerne mellem begreberne og med beskrivelse af relationerne på forbindelseslinjerne. Det er svært at gøre rigtigt i matematik, det fungerer langt bedre indenfor de naturvidenskabelige fag.
Begrebskort kan også bruges til evaluering, hvor eleverne for eksempel bliver bedt om at tegne et begrebskort over procent. Eleven viser eleven om han har et rigt eller sparsomt sæt af begreber i tilknytning til begrebet. Begreberne “udenom”, som eleverne selv sætter på, er hun ikke nødvendigvis i stand til at anvende i alle situationerne. Men alene det, at begreberne ringer en klokke viser lærere at der er noget at bygge videre på hos eleven.
Regnehistorier
Arbejdet med regnehistorier og de mange forskellige tankegange bag de fire regningsarter er en måde at sætte fokus på sproget i tekstopgaverne.
Gudrun Malmer har kategoriseret alverdens regnehistorier i Räkna med kreativitet, Ekelunds Forlag AB, 1990.
Jeg har selv skrevet om disse kategorier i Begynderundervisningens didaktik, Alinea, 2005
Man kan evaluere elevernes forståelse af begreberne bag de fire regningsarter ved at lade eleverne tegne eller lave regnehistorier til konkrete regnestykker. På denne måde viser eleverne hvilke billeder/historier de selv knytter til den konkrete regneoperation.
Ordindsætning
Man laver en række sætninger med fagordog/eller før-faglige begreber, piller disse fagord og før-faglige ord ud igen og sætter i en ordliste. Elevernes opgaver er så at sætte de rigtige ord fra ordlisten ind på de tomme pladser i sætningerne.
Et eksempel:
Ordliste
til sammen
mangler
forskellen
op til
Opgaver
35 og 57 giver 92 __________.
_________ mellem 98 og 11 er 87.
Fra 27 ________100 er der 73.
Hvis du har 73, ________ du 27 for at have 100.
Skærmleg
Sæt en skærm op mellem to personer. Den ene bygger/tegner noget, og forklarer, så den anden kan gøre det samme. Skærmen løftes og man sammenligner.
Man kan fx bruge duploklodser, almindelige legoklodser, centicubes, sømbræt.
Skærmleg er en rigtig god måde at sætte fokus på specielt de før-faglige begreber, da man næsten ikke kan undgå at komme til at bruge eller mangle ord til at beskrive ovenpå, ved siden af, til højre for, midt på osv.
Jeg har hentet stor inspiration til denne artikel fra “Sproget – Kan man regne med” Et speciale af Tina Pedersen og Maria Ellehuus, Århus Universitet 2005
